超球の５と７は意外につまらない

２次元の円の面積は πｒ^2、
３次元の球の体積は 4/3πｒ^3。
では、４次元だったら？
現実の空間は３次元までですが、その上の４次元、５次元であっても球
（中心点から一定の半径以内にある点の集まり）を考えることができて、その体積を計算することもできます。
ウィキペディアには「ｎ次元空間の球」の、体積や表面積を計算する式が載っています >> wikipedia:球
式の求め方は他のサイトに譲るとして、
ここでは以下の、ちょっと気になる記述に目を向けてみましょう。

n 次元単位球の体積は n = 5 のとき、表面積は n = 7 のときにそれぞれ最大値をとり、
それ以降は n の増加にともないどちらも急激に減少して 0 に収束する。

球の体積は５次元が一番大きくて、表面積は７次元が一番大きくなる・・・何とも不思議ではありませんか。
このグラフは、半径＝１の超球の体積を、２０次元まで描いたものです。

確かに５が最大になっていて、その後次元が上がると０に近づいています。
次は表面積のグラフ。

こちらの方は７が最大となっています。
もしこれが、次元が上がるにつれて一方的に減るだけだったなら、まだ納得できるのですが。
５次元と７次元には、何か特別な意味があるのでしょうか？

結論から言いますと、この５と７には、それほど深い意味はありません。
なぜ、たまたま５と７が最大になったのか。
それは、球の半径を共通の基準＝１として比較していたからです。
試しに、半径ではなく、直径を共通の基準＝１として、体積のグラフを描き直してみましょう。

こうして見ると、体積は次元が上がるにつれて、一方的に減少していることが分かるでしょう。
（あえて言うと０と１の間に最大値があるのですが、それは直線と０次元の間？ということ）
直径＝１とした場合の体積には、どういう意味があるのか。
それは、「外枠の箱の中で球が占める割合」ということです。
例えば正方形の中にぴったり納まる円は、正方形の中の約７９％を占めています。
立方体の中にぴったり納まる球は、立方体の中の約５２％です。
１次元の場合は、線の中にぴったり納まる線は、そのまま１００％です。
次元が大きくなって、外枠の箱の角の数が増えれば増えるほど、中の球と外枠の箱の間の隙間は増えてゆくでしょう。

直径基準で考えたときの「超球の体積」には、空間を占める割合という意味があり、
それは次元が上がるにつれて一方的に減少するものだったのです。
計算によると、１０次元の場合、外枠の箱に占める球の割合はわずか０．２５％、
２０次元になると、たったの０．０００００２５％程度になります。
残りのほとんどは「隙間」になっているようです。

それでは、直径ではなく、半径を基準として次元の異なる球を比較したら？

・・・円と球の場合を想像してみてください。
そこに何か明確な意味があるとは思えません。

表面積についても似たようなことが言えます。
球がぴったり納まる外枠の表面積と、球面との割合をグラフに描くと、こうなります。

やはり次元が上がるにつれて、一方的に減少しています。
ここでもやはり、半径サイズの正方形（または立方体）と、球面の比較には意味がないと考えるべきでしょう。

結局のところ、５次元と７次元が最大となったのは、たまたま「半径」を基準とした公式で比較したからそうなっただけで、
５と７に何か特別な意味があるとは思えません。
私も当初は、きっと何か深い意味があるだろうといろいろ想像してみたのですが・・・
意外につまらない結論でちょっとがっかりでした。
数字の裏に、いつでも深い意味が隠されているとは限らないのです。
今回は「意外につまらない」話でしたが、高次元空間にはもっとおもしろい話もたくさんあります。
たとえば、こんなの。
* 高次元空間の隙間の大きさ
>> http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/4d65a6811aa35998e6246bb57025a974