多次元正三角錐の体積

２次元の正３角形、３次元の正４面体を延長した、４次元空間にある正三角錐の体積はいくつになるか。
さらに延長して、一般にＮ次元の正三角錐の体積はいくつになるか。

４次元空間にある正三角錐のような図形は、正五胞体というのだそうだ >> wikipedia:正五胞体。
ウィキペディアには『超体積: (√5/96)a^4』と書かれているが、これはどうやって計算したのだろうか。

いきなり４次元では想像が付かないので、目に見える２次元、３次元から類推しよう。
まず２次元の正方形、３次元の立方体を考える。
とある１つの頂点から伸びる辺を全て含むように平面で切り取った角錐のことを“コーナーブロック”と呼ぶことにしよう。

“コーナーブロック”とは、上の図で青く塗った部分のことだ。
２次元の場合は直角２等辺三角形、３次元の場合は切り口が正三角形となるような三角錐である。

４次元の場合、コーナーブロックの切り口は正４面体になる。
そして５次元であれば、コーナーブロックの切り口は４次元空間にある正三角錐（正五胞体）となる。
つまり、コーナーブロックの切り口が、知りたかったＮ次元の正三角錐の体積となっているわけだ。
そこで、[コーナーブロックの体積] -> [コーナーブロックの切り口] -> [Ｎ次元の正三角錐] という方針で、
Ｎ次元の正三角錐の体積を計算してみよう。

コーナーブロックが、もとの立方体の何分の１を占めるかを考えてみる。
２次元の正方形の場合には、見ての通り 1/2 だ。
３次元の立方体の場合には、(1/2)×(1/3) = 1/3! となる。
この延長で、４次元のコーナーブロックを考えると (1/2)×(1/3)×(1/4) = 1/4! になる。

なぜ (1/N次元) が掛け合わされるのか。
たとえば３次元空間の角錐は、１つの立方体を３つの方向に、同じ形に切り分けた一部分なので、元の立方体の 1/3 だと分かる。

３次元のコーナーブロックは、２次元のコーナーブロックの底面に対して (1/3) を掛けるので、
結局のところ元の立方体の (1/2) × (1/3) となる。
４次元空間は絵には描けないが、きっと４つの方向に同じ形に切り分けた部分なのだから、
３次元のコーナーブロックの底面体に対して 1/4 を掛けたものになる。
以下、Ｎ次元空間ならコーナーブロックの体積は、元の立方体の 1/N! になる。

次に、コーナーブロックの、立方体の対角線に対する高さを考える。
２次元の（１辺の長さが１の）正方形の対角線の長さは√2、
３次元の（１辺の長さが１の）立方体の対角線の長さは√3、
Ｎ次元の（１辺の長さが１の）超立方体の対角線の長さは√N 。
コーナーブロックの高さは、その対角線の長さの 1/N となる。
２次元であれば、(高さ) = √2/2、
３次元であれば、(高さ) = √3/3 となる。

なぜ、コーナーブロックの高さが、ちょうど対角線の 1/N となっているのか。
その理由は、Ｎ次元立方体が等間隔に空間を埋め尽くすからである。
３次元で考えてみよう。

図の立方体[A]に着目して、１つの頂点から反対側の頂点まで、→a, →b, →c と、３本の辺を伝って移動することを考える。
この →a, →b, →c ３本の辺の長さを、立方体[A] の対角線に投影したとき、３本の長さは等しくなる。
たとえば →b を取り上げてみたとき、立方体[A] の隣にある立方体[B] を想像すれば、
→b とは、ちょうど「立方体[B] にとって、立方体[A] の →a 」と同じ位置にある。
なので、→a と →b の、対角線に投影した長さは等しい。
→c についても同じである。
→c とは、ちょうど「立方体[C] にとって、立方体[A] の →a 」と同じ位置にある。
なので結局のところ、元の立方体[A] の対角線は、→a, →b, →c の投影によって３等分される。
この、「立方体が空間を埋め尽くす」という事情は、次元が幾つ上がっても変わらない（だろう）。
なので、Ｎ次元のコーナーブロックの高さは、いつでも対角線の 1/N となるわけだ。

以上で、コーナーブロックの体積と高さが分かった。
この体積を高さで微分することによって、切り口の面積(体積?!)を知ることができる。
まず馴染み深い(?!)３次元空間でやってみる。

グラフの横軸xは対角線方向の長さ（高さ）、縦軸は切り口の面積S、Sの積分がコーナーブロックの体積Vに相当する。
３次元の場合、切り口の面積は高さの２乗に比例するので、S = a x^2 と置く。（今の時点で a は未知の定数。）
あとは高さxと、体積Vに、上の値を入れて a を計算すればよい。
　　∫[0～(√3/3)]{ a x^2 }dx = 1/3!
　　a/3 (√3/3)^3 = 1/6
　　a = 3√3 / 2
切り口の面積Sは、
　　a x^2 = (3√3 / 2) (√3/3)^2 = √3/2

これが切り口の正三角形の面積に一致するはずだ。
一辺が１の正三角形の面積は √3/4 なのだが、今考えているコーナブロックの切り口にある正三角形の１辺の長さは√2である。
なので、
　　S = (√3/4) (√2)^2 = √3/2
確かに一致しているので、どうやらこの方法で良さそうだ。

上と同じことを４次元でやってみよう。
この場合、切り口S には正４面体の体積が現れる。
　　∫[0～(√4/4)]{ a x^3 }dx = 1/4!
　　a/4 (1/2)^4 = 1/24
　　a = 8/3
　　S = a x^3 = (8/3) (√4/4)^3 = 1/3

１辺が１の正４面体の体積は √2/12。
今求めた切り口S は、一辺が√2の正四面体なので、(√2/12) (√2)^3 = 1/3
確かに一致している。

さらに、５次元でやってみよう。
これで、知りたかった４次元正三角錐の体積が得られる。
　　∫[0～(√5/5)]{ a x^4 }dx = 1/5!
　　a/5 (√5/5)^5 = 1/120
　　a = 25√5/24
　　S = a x^4 = (25√5/24) (√5/5)^4 = √5/24

これは一辺が√2の４次元正三角錐なので、一辺が１の体積は、
　　S = (√5/24) / (√2)^4 = √5/96
確かに、Wikipediaに書かれている値と一致した。

以上を一般化して、(N-1)次元の正三角錐の体積が知りたかったなら、
　　∫[0～(√N/N)]{ a x^(N-1) }dx = 1/N!
　　a = (√N)^N / (N-1)!
　　S = a (√N/N)^(N-1) = N^N / {(N-1)! N^(N-1) √N}　　　<-- 一辺が√2 の(N-1)次元の正三角錐
一辺の長さを１にするには、このS を (√2)^(N-1) で割ればよい。
　　V = S / (√2)^(N-1) = N^N / {(N-1)! (N √2)^(N-1) √N}