<< 超訳・物理学 >>
“ラグランジアン”と“エントロピー”、この2つを受け入れれば、古典物理学は理解できる。
さらに“光速度”と“プランク定数”、この2つを受け入れれば、現代物理学は理解できる。
=== 古典力学 ===
【相対性原理】
あらゆる慣性系(観測者の立場)は同等であり、特別な慣性系は存在しない。
【最小作用の原理】(停留作用の原理)
物体の運動にともなって変化する“ラグランジアン”と呼ばれる量がある。
あらゆる物体の運動は、ラグランジアンの合計値(時間についての積分)を最小とする形で実現する。
ラグランジアンの合計値のことを“作用”という。
外力の影響を受けない物体の運動に、何らかの最小作用を満たすような値があるとすれば、
その値は相対性原理から、速度の2乗の関数でなければならない。
その速度の2乗の関数を、我々は“運動エネルギー”と呼んでいる。
さらに、物体がその位置から受ける影響(外力の影響)を“位置エネルギー”と呼び、
{(運動エネルギー)-(位置エネルギー)} を“ラグランジアン”と定義する。
あらゆる物体の運動は、
S = ∫ L dt
-- S:作用, L:ラグランジアン, t:時刻
が停留値をとる形で実現する。
=== 熱・統計力学 ===
=== 一般相対性理論 ===
=== 場の理論 ===
重力を空間の幾何学的な歪みとして理解できるように、あらゆる種類の力、例えば電磁気力などもまた、ある種の空間の幾何学的な歪みとして理解することができる。
※ ある種の空間のことを“場(Field)”という。
あらゆる場は、ローレンツ不変である(光速度不変の原理を満たす)。
それぞれの場には、対応する“ラグランジアン”がある。
それぞれの場における運動もやはり、対応するラグランジアンの作用が最小となる形で実現している。
=== 量子力学 ===
あらゆる物体は、2乗すると(複素共役と掛け合わせると)存在確率となるような、複素数の波動から成り立っている。
波動とは、振幅と位相を持つ何らかの複素数の量の変動なのだが、その全容を我々が直接観測することはできない。
我々が直接観測できるのは、波動の実数成分だけである。
【不確定性原理】
作用には、それ以上分割できない最小単位がある。
最小単位より小さな値は、どうがんばっても定めることができず、不定な量が残る。
※ この最小単位を“プランク定数”という。
最小単位のため、作用が与えられた場は、離散的にカウントできる(1個, 2個, 3個・・・と区別して数えることができる)状態をとる。
そのカウントできる状態のことを、我々は“粒子”と呼んでいる。
あらゆる物体は、複素数の波であると同時に粒子でもある(状態がカウントできる波である)。
対象がカウントできる状態にあることを ~ つまり“粒子”だと見なせることを、“量子化されている”という。
あらゆる場は、量子化されている ~ つまり“粒子”だと見なせる。
=== 無限・計算理論 ===
無限には大小のレベルがあり、そのレベルのことを“濃度”という。
最も濃度の小さな無限は、1,2,3・・・と続く自然数の無限で、“可算無限”と呼ばれている。
数直線上の点の数は、“可算無限”より濃度の大きい“非可算無限”である。
濃度は、それもまた無限に大きくなり得る。
数直線上の点の数よりさらに濃度の大きい無限が、無限に存在する。
計算機械の持ち得るアルゴリズムの全ては可算無限なので、本質的に非可算無限に属する問題を解くことはできない。
どんなアルゴリズムを以てしても、この世のほとんどの問題は解けない。
言いたかったのは以上なので、以下は蛇足。
きっかけは以下のひと言にあった。
「力学はラグランジアンという1個の量だけ認めれば定式化でき、熱力学はエントロピーという1個の量だけ認めれば定式化できる」
>> http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/~shmz/zakkifiles/07-08-21.html
実際、「熱力学の基礎」という本では、エントロピーから他の全てを導いている。
温度という当たり前に思える量でさえも、エントロピーから導かれる。
「ランダウ力学」という有名な(しかし高度な)教科書では、ラグランジアンから他の全てを導いている。
物理学とは恐ろしいほどまでに体系立った学問で、ほんのわずかの基礎原理から、他の全てが導出される。
“暗記”は極限まで少なくて、あとは“考えれば分かる”のだ。
では、物理学に最低限必要な“暗記”はどれだけあるのか?
そう思って必要最低限の“暗記”部分を私なりにリストアップしたのが、上の<< 超訳・物理学 >>となった。
最低限、これだけ頭にたたき込んでおけば、あとは“考えれば分かる”はずなのである。
“暗記”が少ない分、うんと考えないといけないのだが、それでも考え続ければ、いつかは必ず分かる。
必ず分かるようにできている。
そのように考えると、最大の謎は
「この世界が、考えれば分かるようにできているのは何故か?」
ということになる。
この謎は <<物理学>> のリストには(今のところ)入らないし、考え続ければ必ず分かる、という保証も無い。
謎である。
- 作者:エリ・ランダウ,イェ・エム・リフシッツ
- メディア: 単行本