君はエントロピーって言葉を知ってるかい?(2)

まどか☆マギカエントロピー」、第2回ができました。
>> http://brownian.motion.ne.jp/mami/2nd/ (要 Flash 10以降)
今回のテーマは「統計力学エントロピー」。
まどか☆マギカ」とは、今年4月まで放映していた魔法少女もののアニメのこと。
話の中にエントロピーが登場する、というのが、そもそものきっかけだったのです。

・・・で、内容は Flashの方を見てもらうことにして、
ここでは Flash中で説明し切れなかった「計算はちょっと大変」のところを補足します。

問題:
M円のお金をN人に分ける場合の数をひたすら数え挙げたとき、
最も場合の数が多くなるのは、どんなときか?

この答はよく知られていて、「ボルツマン分布」と呼ばれる形になります。

それでは、なぜ「ボルツマン分布」といった形になるのか?
幾つかの導出方法があります。

1.ラグランジュの未定数法を使って計算する.
 ・統計力学に挑戦〜 Boltzmann分布〜(.pdf)
  >> http://zatsudankagaku.web.fc2.com/seika/091209.pdf
    from 雑談化学サークル >> http://zatsudankagaku.web.fc2.com/
 ・ラグランジュの未定乗数法のイメージ >> [id:rikunora:20110210]

2.図を描いて直感的に理解する.
 ・指数分布の理由
  >> http://brownian.motion.ne.jp/11_WhyPPMisImpossible/08_ReasonForExp.html

3.とにかくパソコンで試してみる.
 ・100人の村でランダムにお金を交換したら?
  >> http://brownian.motion.ne.jp/memo/Binbou.php

今回は、さらに4つ目の説明を付け加えようと思います。
4.組み合わせを考えて => スターリングの公式.
具体的に、A,B,C,Dの4人に、9個の玉が配られた状況を考えます。

・まずAの玉を一番左に一列に並べます。
・次に、AとBの境目がわかるように、1個の青玉を置きます。
・青玉の後に、続けてBの持っている玉を並べます。
・以下、同じようにして、青玉で区切って全員の持っている玉を一列に並べます。
すると・・・玉の配り方というのは、結局のところ
 「赤玉+青玉の長さの列の中に、青玉を置く組み合わせの数」
だということに気付きます。
つまり、
 組み合わせの数 = (M + N - 1)! / M!(N - 1)!
となります。
次に、スターリングの公式
 N! = (N / e )^N
という近似を使って、階乗!を指数に置き換えます。
このとき、- 1 は、M,Nに比べて非常に小さいとして、省略。
置き換えた結果は
 組み合わせの数 = (M+N / M)^M・(M+N / N)^N
これで組み合わせの数は
 ・Mの指数に、ほぼ比例する
 ・Nの指数に、ほぼ比例する
ということがわかります。
いま、N人の中の1人、仮にAさんがx円持っていたとすると、残りのお金は(M - x)円です。
Aさんがx円持っている組み合わせの数は、
残る(M - x)円を、(N - 1)人に配った組み合わせの数と同じになります。
そこで、Aさんの所持金xを横軸に、組み合わせの数を縦軸にグラフを描いてみると、
それはNに対する指数となり、ボルツマン分布の形になる、というわけです。

※ちなみに、この「玉を一列に並べる」というアイデアは、久保亮五の教科書に載っていたものです。
※上の計算はてきとーにはしょっているので、詳しく知りたい人は教科書を見るか、自力で考えるべし。