波長と分解能
「小さい波ほどよく見える。」
これは光の波長と分解能についての関係です。
ご存じのように、光とは電磁波の一種であり、波としての性質を持っています。
その波である光を使って物体を見ようとしたとき、いったいどこまで細かく、精密に物体をとらえることができるでしょうか。
つまり光学顕微鏡の性能は、どこまで上げられるだろうか、という疑問です。
もしレンズというものが本当に無限小の１点にまで光を集めることができたなら、
理屈で言えばどんなに小さな物体でも見ることができるはずです。
ところが、現実には光は波であって、その「波の大きさ」よりも小さいものは見ることができません。
「波の大きさ」というのは、光の波長のことです。
顕微鏡の分解能は開口数NAと観察波長λの関数として、
Ｄ＝aλ／NA
という式で与えられる。
-- 顕微鏡の分解能より
>> http://www.op.titech.ac.jp/lab/Take-Ishi/html/ki/hg/et/sb/resolution/resolution.html
この図は、水面上に浮かぶ木の葉に波が当たっている様子です。
大きな波の場合、波は木の葉を大きく揺さぶって通過してしまうので、木の葉の形を捉えることができない。
小さな波の場合は、波は木の葉の縁で細かく反射するので、細かい形状をとらえることができる。
なるほど、そういうことか・・・本当にそう思いますか？
上の「水面上の木の葉」の説明は、一見もっともらしいのですが、どうも納得が行かないところがあります。
１．波長と物体の大きさは、直接には関係しない？
下の図を見てください。
波長って、物体の大きさに直接関係あるのでしょうか？
これが波長ではなくて、振幅であるというのなら、まだ話はわかります。
図で言えば、波長は横方向の長さであり、振幅は縦方向の長さだからです。
波長というのは、物体に対して「どれだけ時間をかけて波があたるのか」ということでしょう。
上の木の葉の説明では、なんとなく「波の大きさ= 波長」としてしまったのですが、
よく考えてみると、「波の大きさ」と「波長」の関係は必ずしも明らかではありません。
これが第１の疑問です。
２．１個の波で測定できないか？
木の葉の浮かんでいる水面に、１回だけ振動を与えて、波を１個だけ作ってみましょう。
１個だけの波が木の葉に当たって、反射して返ってくる様子は、下の図のようになるでしょう。
反射してきた波を測定装置でとらえて解析すれば、そこから木の葉の形が知れないでしょうか。
反射してきた波が返ってくる”海岸線”に、ずらりと一列に測定装置を並べておく。
（小人さんがたくさん並んでいる、というのがイメージしやすいかも）
そして、どの測定装置に、何秒後に波が当たったかを記録しておいて、そこから木の葉の形を再現する。
もしこういった測定装置が作れるのなら、波長は測定の精度に全く関係ないではありませんか。
最初に挙げた「水面上の木の葉」の説明には、明らかにゴマカシと思える箇所があります。
それは、「大きな波の場合、木の葉は揺さぶられて動いているけれど、
小さい波の場合、木の葉は止まっている」というところです。
大きな波の場合、木の葉が動くからこそ、波が通過する。
小さい波の場合、木の葉が動かないので、波は反射してくる。
それでは、実際に対象物が全く動かない状況で、波の反射はどのようになっているのでしょうか。
私はこのことが気になって、折あらば河岸や海岸に寄せる波の形を見ているのですが、
どうも波の大きさに関わらず、大きな波も小さな波も一様に反射するように見えるのです。
（詳しく正確に測定したというわけではありません。誰か波に詳しい方、ご存じないでしょうか。）
単純に水面の波の類推だけで考えると、波長と分解能が関係しているとは、どうも思えないわけです。
それではなぜ、実際に波長の短い光ほど分解能が高いのでしょうか。（←これは事実です）
その答は、ファインマン物理学という教科書に載っていました。
はっきりと区別できる場所に光が集まるという条件は、・・・
二つの可能な物体Ｐ，Ｐ’から一つの像点Ｔにいく時間が等しくないということである。
２つの物体、ＰとＰ’が異なる像として区別できるためには、
Ｐから出た光と、Ｐ’から出た光が目（観測装置）に到達するまでの時間が異なることなのだ、というのです。
では像が一緒にならず、二つの像点がはっきりと区別できるためには、時間がどれだけ違えばよいのか。
・・・それ自身の像点に達する時間にくらべて、光の振動の１周期以上異なる場合に、二つの像が分解されるというのである。
そして、その異なる時間をどのようにして測るのか、といえば、
光の振動の１周期が時間の最小単位になっているのだ、とファインマンさんは言います。
上に挙げた、”海岸線”に並べた測定装置で考えてみましょう。
物体の形を測るのに、”海岸線”に並べた測定装置（小人さん）は、各人が時計を持っているはずです。
その時計を見て、どの測定装置に、何秒後に波が到達したかを測っているわけです。
となると、問題となるのは、その時計の精度ということになるでしょう。
もし測定装置の時計が一秒刻みだったとしたら、一秒より細かい精度の形を知ることはできません。
では、実際に時計の精度を何が決めているのか、時計の”振り子”は何なのか。
それは光の振動の１周期に他なりません。
この時計の精度こそが、波長が分解能を決定する本当の理由なのだと思います。
例えば目という測定装置によって光を見分けるためには、目の中で何らかの化学反応が起こらないといけません。
その化学反応のタイミングは、どこまで小さな時間差で起こり得るでしょうか。
それが反応の引き金となっている光の１周期よりも高い精度で起こる、
ということは、まずあり得ないでしょう。
もし、波の１波長よりも小さな違いを見分けることができたなら、
分解能は（原理的には）１波長よりもっと高めることができると思うのです。
それでは、１波長よりも小さい、ほんのわずかの違いを、どのようにして「見極めたら」よいのでしょうか。
ほんのわずかの違いを検出するためには、少なくとも測定に用いた光よりももっと「細かい」、
より波長の短い光（あるいは波長の短い何物か）を用いなければなりません。
要は、もっと精度の高い特別な時計を持ってこないといけません。
ここで、より波長の短い光が使える位なら、最初からその光を対象物に当てればよいはずでしょう。
なので結局のところ、用いた光の波長よりも細かい物体は見ることができないのです。
波長とは、波の「時間に対する変化の速度」のことです。
なので、波長の性質をとことん考えるなら、どこかに必ず「時計」の概念が入ってくると思うのです。
余談ですが、ファインマンさんの量子力学は「二重スリットの実験と不確定性原理」から始まっています。
リチャード・P・ファインマンはこれを「量子力学の精髄」と呼んだ。
-- wikipedia:二重スリット実験
量子力学は古典的な光の話とはまた別のことなのですが、
話の雰囲気からして、波長と分解能の延長線上に来ているという印象を受けます。
