３囚人問題

３人の囚人、Ａ，Ｂ，Ｃがいました。
この３人のうち、１人だけが恩赦になったのですが、
誰がなったのかは囚人に知らされないことになっていました。
囚人Ａは、看守に
「ＢとＣのどちら１人は必ず死ぬのだから、処刑される人を１人だけ教えてください」
と願い出ました。
看守は「Ｂが処刑される」と教えてやりました。
そこで、囚人Ａは「最初、自分が助かる確率は1/3だった。
ところが今では、処刑されるのは自分かＣかの1/2になった。
自分が死ぬ確率は小さくなったのだ！」
そう考えて、囚人Ａは喜んだのです。
さて、この囚人Ａの考えは正しいでしょうか？

先に答を言うと、Ａの考えは間違っていて、Ａが処刑される確率は当初の 2/3 のままです。
なぜ、そうなるのか？ 直感的に考えてみましょう。
仮に、Ａが処刑と全く関係なくて、ＢとＣが 1/2の確率で処刑されるのだったとしましょう。
ここで「Ｂが処刑される」という情報が得られたなら、当然、
Ｂの生存確率０％、Ｃの生存確率１００％になります。
次に、そこにＡが加わったらどうなるか。
「Ｂが処刑される」という情報が与える影響がＢ，Ｃ２人の場合と同じだとすれば、
Ｂの生存確率が０％になり、その分だけＣの生存確率が高まるのだと考えられるでしょう。

ＢとＣとの間の関係は、Ａが居ようが居まいが全く変化しないのです。
しかしなぜ、Ａは無関係だと言い切れるのでしょうか。
それは、最初から看守がＡについて答えないことがわかっているからです。
もし答える相手が秘密を守る看守ではなくて、
Ａも含めた死刑囚の名前を全くランダムに答えるものだとしたら、結果は変わってきます。
例えば、死刑囚の名前が書いてある裏にした２枚の札の中から１枚を引いてくる、といった状況です。
１枚の札を引いてきて、そこに「Ｂが処刑」と書かれていたなら、Ａが処刑される確率は 1/2 に下がります。
・看守の場合は、看守はＡについて答えないので、Ａについての確率は変化しない。
・２枚の札の場合は、札の中にＡの名前が含まれている可能性があるので、Ａについての確率は変化する。

囚人の人数を３人ではなく、１００人にまで増やしてみれば、違いはもっとはっきりします。

* 答える相手が看守の場合、
看守は、Ａに対して最大９８人の処刑される人の名前を教えることができます。
もしＡが９８人の名前を知ったとすれば、恩赦に預かれる可能性が高くなるのは、
まだ明かされていない、最後の９９人目です。
９９人目の生存確率は９９％にまで高まります。
しかし、Ａの生存確率は、最初から１％のまま変わりません。


* 答を示すものが名前の書いてある札だった場合、
もし９８枚目まで札をめくって、そこにＡの名前が無ければ、
Ａが処刑される確率は 1/2 にまで下がります。

* まとめ *
自分に関係のない、高みの見物で得られた情報によって、自分自身を変えることはできない。

この３囚人問題は、「モンティ・ホール問題」と呼ばれる問題とセットにして考えると、
もっとよく理解できることと思います。
モンティ・ホール問題については、こちらを参照 >> [id:rikunora:20090423]
もし、看守に答を聞いた後で、Ａの立場と、残る１人の立場（Ｃ，あるいは９９人目）を
交換できるのであれば、Ａの生存確率は得られた情報の分だけ下がることになります。
残念ながら、囚人の場合には人間を取り替えることはできないので、
確率を下げることはできないというわけです。

※追記
ふと wikipedia:モンティ・ホール問題 を見ると、なんと、上と全く同じ解説が為されているではないですか。
思考パターンが全く同じ？ まあ、わりと有名な問題なので、同じところに辿り着くのか。
言い訳をすると、以前「モンティ・ホール問題」というエントリーを書いたときには、
ウィキペディアにこの記述は無かったように思ったのですが、、、
ウィキペディアは進化するのだなあ。

※追記２
実はこのブログには「モンティ・ホール問題」というキーワードで訪れる人が少なくありません。
試しにググってみると現在３位に挙がっていました。ちなみに１位はウィキペディア。
元のエントリーを見るとわかるのですが、>> [id:rikunora:20090423]
どちらかというと短く、内容も少なめの記事です。
なぜ、この短いエントリーに人気があるのか。
他にも、もっと力を入れて書いた長いエントリーだってあるのに・・・
そこでようやく気付きました。
「短いエントリーほど人気がある」ってことです。
内容がてんこ盛りのエントリーよりも。
Ｗｅｂというものの性質の一端を垣間見た気がした。

* 参考：新説受け入れ確率 >> [id:rikunora:20081011]