歪んだサイコロ

サイコロというものは、１から６までの数が均等に出るのが普通です。
なぜ均等になるかと言えば、サイコロの６つの面が全て同じ形だからです。
それでは６つの面が同じではない、縦横の長さが違っている形だったら、
出る目の確率はどうなるのでしょうか？

とりあえず思い付く予想は、こんなところでしょうか。
予想１．出る目の確率は、床に接する面の立体角に比例している。
予想２．重心の高さが低いほど、より安定するので目が出やすい。
しかし、この予想１と２でも、結果は食い違ってきます。
真実はいかに、ということで、手頃な材料を転がしてみることにしました。

私が選んだ材料は「トイレットペーパーの芯」です。
・いろいろな長さで切りとって試すことができる。
・中に粘土を詰めて、重さを変えて試すことができる。
これで、予想１、２を確かめることができます。
トイレットペーパーの芯の直径は、測ったところ４cmでした。
そこで、今回は
・直径よりも短い、高さ 2.5cm の円筒
・直径と同じ、高さ ４cm の円筒
・直径よりも長い、高さ ５cm の円筒
の３個を用意しました。
それぞれの円筒を１００回ずつ投げて、立つか、転がるかを数えてみました。
これを３回繰り返しました。
次に、それぞれの円筒に粘土を詰めて重くして、同じように投げて立つか、転がるかを数えました。

* 結果 -- １００回のうちに円筒が立った回数.

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空の芯：　 2.5cm | 4cm | 5cm
１回目：　 58 | 28 | 24
２回目：　 59 | 34 | 16
３回目：　 65 | 29 | 24

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　平均：　 60.7 | 30.3 | 21.3
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粘土入り： 2.5cm | 4cm | 5cm
１回目：　 52 | 25 | 12
２回目：　 48 | 44 | 19
３回目：　 59 | 32 | 8
４回目：　 67 | - | -

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　平均：　 56.5 | 33.7 | 13.0
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粘土入りの2.5cmだけ、実験回数が４回となっています。
これは特に２回目で予想に反した回数が出てきたので、
疑わしく思ってもう１度だけ試してみたものです。
（ホントはこういう手心は加えない方が良いのですが、せっかくなので入れてみました。）

* 円筒の重さ
空の芯：　 2.5cm | 4cm | 5cm
　　　　　 1.5g | 2.5g | 3g
粘土入り： 2.5cm | 4cm | 5cm
　　　　　 33g | 53g | 67g

まずは予想１．円筒が立つ確率は立体角に比例する、を検証してみましょう。
立体角というのは、球面全体に対して色の塗ってある部分の面積の比率のことです。

円筒が床に落ちたときの角度が、この範囲に入っていたら、
きっと円筒は立つのではないでしょうか。
　2.5cm：Cos[ ArcTan[ 4 / 2.5] ] = 5/√89 = 0.53
　　　立体角は 2π(1-0.53) = 0.47、球面全体の24%、上下２面で 47%
　　　=> 予想、４７回
　　4cm：Cos[ ArcTan[ 4 / 4] ] = 1/√2 = 0.71
　　　立体角は 2π(1-0.71) = 0.29、球面全体の15%、上下２面で 29%
　　　=> 予想、２９回
　　5cm：Cos[ ArcTan[ 4 / 5] ] = 4/√41 = 0.78
　　　立体角は 2π(1-0.78) = 0.22、球面全体の11%、上下２面で 22%
　　　=> 予想、２２回

この予想は、空の芯の 4cm, 5cm と、粘土入りの 4cm には当てはまっているように見えます。
しかし、2.5cm は予想よりも多いですし、粘土入りの 5cm は予想よりも少ないです。

次に予想２．重心が低いほど安定するのではないか。
この予想は、5cmの円筒には当てはまっています。
5cmの場合は、重い方がより多く倒れる＝安定する傾向にある。
しかし説明が付かないのは、2.5cm の方です。
もし安定した方が出やすいのであれば、粘土入りの方がより多く立つはずです。
（2.5cmの円筒は、直径よりも高さが低いので、立ちやすくなる）
しかし、結果は逆になっている。これはどうしたことか。

2.5cmの円筒については、予想１，２だけでは説明が付きません。
思い当たる理由と言えば、円筒を投げたときの回転くらいです。
2.5cmの円筒は、ちょうどてのひらにすっぽり入る大きさで、
投げる際に円筒の軸を中心に回転しやすいように感じました。
回転がかかると、円筒が床の上をタイヤのように転がって、
結果として横に寝た状態としてカウントされます。
要は 2.5cm と 5cm では投げ方の癖が違っていて、
回転のかかり具合に差があるのではないかと。

結果を見ればわかるように、確率は立体角だけで決まるわけではなく、重さも関係しています。
なので、出る目の確率には少なくとも
　　(立体角) + (重さ) + (回転か何かの要因？)
が効いていることになります。
これは思ったよりもずっと複雑な問題でした。
空の芯の方が立体角に合っているようにも見えるので、ひょっとすると
・重量が無視できる場合 => 立体角
・重量があると => それに重さの補正が加わる
のではないか、などと思ってみたりしました。
。。。オチが無くてすまんね。いつも上手く解けるとは限らないのだ。