統計分布の基礎 -- 貧乏/金持分布

お金のいらない世の中

初出: 2007/04/26

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※ このメモは、とある場所で研修セミナーに用いた資料です。
※ 「１００人の村でランダムにお金を交換したら？」
※ http://brownian.motion.ne.jp/memo/Binbou.php
※ 「幸せな時間・不幸な時間」
※ http://brownian.motion.ne.jp/memo/Happy.php
※ を見ながら、読むのがよいでしょう。

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「お金のいらない世の中」については、こちらを参照のこと >> d:id:rikunora:20080420

● 貧乏/金持分布

　　たくさんの人に、たくさんのお金を全くランダムにばらまいたら、お金はどのように行き渡るのか？


　　最初に全員が同じ額を持っていたとして、全くランダムにお金の受け渡しを行ってみよう。
　　その結果はどうなるか？


　　人数と金額を入力すると、金持ちから貧乏までの金額と人数を表にして出すものを作ってみよう。
　　できればターン制にして、途中経過を出力してみたい。


　　　　=> つまり世の中というものはどのようになっているのか？


● 勝ち組と負け組
　　この世に生まれつき２種類の人種、勝ち組人種と負け組人種がいたとする。
　　勝ち組人種は有利な交換を行う確率が高く（つまりもらう確率が高く）、
　　負け組人種は不利な交換を行う確率が高い（つまりあげる確率が高い）。


　　このとき、勝ち組人種の分布と負け組人種の分布はどうなるだろうか？

● 借金がある場合

　　最低所持金額を０円ではなく、借金＝マイナスの金額も在りとしよう。
　　このとき、金持/貧乏分布はどうなるか？


　　また、借金ありの場合で、勝ち組と負け組がいたら、結果はどうなるか？

● 分布は何で決まるのか？

　　分布形状を決める、本質的なパラメーターは２つだけ。
　　　　「平均」と「分散」

● 正規分布とは

　　　　f(x) = 1/(√(2π)σ)・Exp(- (x-μ)^2 / 2 (σ^2) )


　　何やら恐ろしげに見えるが・・・
　　　　平均 μ=0
　　　　分散 σ^2=1
　　の場合はもっと簡単で（これが標準正規分布）
　　　　f(x) = 1/(√(2π))・Exp(- x^2 / 2 )


　　さらに単純化すれば、骨格は
　　　　f(x) = Exp(- x^2)
　　ということ。


　　ここで、全部合わせたら１(100%)となるように ∫Exp(- x^2) dx の値を求めたい。
　　計算すると √π という神秘的な数になる。

○ 神秘の計算 （こんなの絶対思いつかないぞ！）

　　求める答を I とおいて、何を思い立ったか I^2 を計算してみる。
　　　　I^2 = ∫Exp(- x^2) dx・∫Exp(- y^2) dy
　　　　　　= ∫∫ Exp(- (x^2+y^2)) dx dy
　　局座標変換
　　　　x = r cos θ,　y = r sin θ　とおくと
　　　　x^2 + y^2 = r^2,　　dx dy = r dr dθ　　だから
　　　　I^2 = ∫[0〜2π] ∫[0〜∞] Exp(- r^2)・ｒ dr rθ
　　　　　　= 2π [ - 1/2・Exp(- r^2) ][0〜∞] = π
　　よって
　　　　I = √π


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● 難しい問題

世の中「放っておけば」どうなるか、およその予想がついたと思う。

それでは、どうすれば世の中良くなるのだろうか？
貧乏/金持分布がどういう形になっていれば、理想の世の中だと言えるのだろうか？

・「放っておけば最も上手く行く」というのも１つの考え方だろう。
　　=> いわゆる「自由放任主義」「市場原理主義」がこれ。
　　=> 有名な「見えざる神の手」（アダム・スミス）も、結局はこれ。

・しかし、これで全てが上手くいったわけでもなかった。
　　=> 独占、貧富の格差、世界恐慌・・・２０世紀の歴史
　　=> 修正資本主義（ケインズ）
　　　　　政府が景気の変動を緩やかにコントロールすべき、というもの。
　　　　　みんなが文句をたれる「税金、公共事業政策」も、つまるところここに源を発しているのだ。

・もっと極端に、いっそ格差、所有そのものを認めないという流派もあった。
　　=>「貧乏な国」が社会主義・共産主義に走った
　　=> ソ連と共に実質上消えた

現在では・・・
　　自由放任派とコントロール派がせめぎ合いながら、道を模索している、というのが現状。
　　　　・・・この問題に「正解」は無い。


　　　この世に「全く公平な立場」の人間はいない。
　　　もし自分が「勝ち組人種」に組しているとしたら、どういう世の中が望ましいと考えるだろうか。
　　　もし自分が「負け組人種」に組しているとしたら、どういう主張をするだろうか。


　　　それでも「公平な世界が良い世界」であるとするならば、
　　　お互いがどういう主張を受け入れなければならないだろうか。


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