虚数の虚数乗

１．虚数単位 i = √-1 の虚数単位乗、i ^ i はいくつになるか？
２．虚数単位の虚数単位乗 i ^ i ^ i ^ i ・・・ をどこまでも続けていったら、どうなるか？

先に答を言っちゃいます。
　１．e^(-π/2) という実数になります。
　２．どうやら、とある複素数に収束するらしいのです。
数式処理サイト、Wolfram|Alphaで確認してみましょう >> http://www.wolframalpha.com/

１．Wolfram|Alphaで「 ComplexExpand[I^I] 」と入力してみます。
（虚数単位は大文字 I、ComplexExpand は複素数の形式で表示する、ということ）

答は e^(-π/2)、約 0.20788... という数になりました。

２．x = i^i^i^i^・・・だとすると、i^x = x となっていることでしょう。

そこで、Wolfram|Alphaで「 Solve[I^x == x, x] 」と入力してみます。
（Solve[*, x]は方程式 * を x について解け、ということ）

すると、上のような答が得られました。
Ｗnとあるところは、ランベルトのＷ関数というものです >> wikipedia:ランベルトのW関数

なぜ上のような答になるのか。
１．の解説は下のブログを見ましょう（他力本願）。
* 数学って面白い！？ --「無理数乗」と「虚数乗」
>> http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50662295.html
「一瞬で求まります」と書いてありますが、私は大いに悩んだよ。
さて、確かにこれで i^i = e^(-π/2) ということが分かったのですが、
いまひとつイメージというか、全体の形のようなものが見えてきません。
そこで、さらに Wolfram|Alphaを駆使して f(z) = i^z　(z = x+iy) という複素関数のグラフを描いてみました。
Wolfram|Alpha で「 plot Re[I ^ (x + I y)] 」と入力してみます。
すると、こんなグラフが得られます。なんと３Ｄ。
Re は実数部分という意味です。つまりこれは、i^z の実数部だけを表示したものです。

虚数部を表示するには、Wolfram|Alpha で「 plot Im[I ^ (x + I y)] 」と入力してみます。
Im は虚数部分という意味です。つまりこれが、i^z の虚数部です。

f(z) = i^z の全容は、上の２枚の３Ｄグラフを合わせたものになります。
複素関数は、定義域が実数と虚数で２つの数字、値域が実数と虚数で２つの数字、
合わせて４つの数字なので４Ｄとなります。
４Ｄということは１枚の絵には収まらなくて、上の２枚の３Ｄグラフを脳内で合成することになるのですが
・・・想像が付くでしょうか。
例えば、上の３Ｄグラフの中から i ^ (i x) (xは実数) という部分を取り出すと、次のようになります。

つまり、３Ｄグラフをこの断面で切ると、指数関数になっているのです。
この指数関数のグラフ上で、x=1 のところが e^(-π/2) となっているわけです。
実はこのとき（肩に掛かっている数が純虚数のとき）、 i ^ (i x) の値は実数となります。
そのことは「 plot Im[I^(I x)] 」として虚数部のグラフを描こうとすると、値が０となることで確認できます。
あるいは、上の３Ｄグラフの中から i ^ (y) (yは実数) という部分だけを取り出すと、次のようになります。

この切り口から見ると、ちょうど Cos(y * π/2) といった形になっています。
全体として見ると f(z) = i^z という複素関数は、指数関数と三角関数が組み合わさったような形をしているのです。
参考： e^z という複素関数の形は、こんな風になっています。
* 複素数の指数関数 >> [id:rikunora:20090607]

続いて、問題の２．を見てみましょう。
i ^ i ^ i ^ i ^ ・・・は、どうなるか。
下から順番にやってみましょう。
i ^ i のことは分かったので、次は、i ^ i ^ i （iが３個）。

それでは、i ^ i ^ i ^ i（iが４個）は、どうなるか。

ならば、i ^ i ^ i ^ i ^ i （iが５個）は、どうだ。

試したところ、i ^ i ^ i ^ i ^ i ^ i （iが６個）までは答えてくれました。

以上を眺めてみると、なんとなく規則性が見えてきませんか。
つまり、こういうことなんです。

この規則性に基づいて、i^i^i^i... の値を計算してグラフを描いてみると、こんな風になりました。

なんと、複素平面上で渦を巻くようにして１点に収束していました。
１００個目まで計算したところ、収束点はおよそ 0.438 + 0.360 i といった値でした。
たぶん、これが冒頭に示した答になっているのだと思います。
「たぶん」と付けたのは、実は冒頭の答には、ちょっと不確かなところがあるのです。
冒頭では、最初からあたかも i^i^i^i... の答が存在しているかのように式を入力していますが、
本当に i^i^i^i... の答が存在するのかどうか（収束するのかどうか）確かめていません。
ここでは実際に計算してみて、答が１点に集まりそうだということで、とりあえず良しとしちゃいます。
（だから「たぶん」なんです。。。）

ここで１つ、問題を思い付いてしまった。

　問題： z^z^z^z^... という式の値が収束する複素数 z の範囲を求めよ。

うーむ、どこから手をつけたものか。。。
とりあえずパソコンの計算力にものを言わせて、複素平面を絨毯爆撃するプログラムなら作れるけど。
# そこで作ってみたのが次の記事です >> [id:rikunora:20100504]

ちなみに実数の範囲で、√x^√x^√x^√x ... という計算は、x < e^(2/e) で収束するようです。
* 参考：WolframAlphaで√2^√2^√2・・・ >> [id:rikunora:20090531]
この√の√乗の連なり、上で紹介した「数学って面白い！？」ブログでも取り上げられていました。
>> http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50662295.html

※おまけ： とある画像を作ってみた。いい感じ。

* とある櫻花の画像生成（ジェネレーター）>> http://to-a.ru/