Sin Sin Sin... Cos Cos Cos...

Sin( Sin( Sin( ・・・ Sin(x))))... のように、Sinをどこまでも繰り返したら、どうなるか?
Cos( Cos( Cos( ・・・ Cos(x))))... のように、Cosをどこまでも繰り返したら、どうなるか?
Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ Sin((π/2) x )))... のように、Sin((π/2) * ) だったらどうなるか?
Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ Cos((π/2) x )))... のように、Cos((π/2) * ) だったらどうなるか?

答を見る前に、ちょっと考えてみましょう・・・
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Sin( Sin( Sin( ・・・ のグラフ、だんだん低くなっているように見えます。


Cos( Cos( Cos( ・・・ のグラフ、一定の値に近づいているようです。


Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ のグラフ、矩形波っぽくなります。



Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ のグラフ、矩形波っぽいけど、よく見ると上下交互に振動しています。


関数の挙動は、以下のように斜め45度の線(y=x)を引くと、よく分かります。


まず Sin( Sin( Sin( ・・・ の繰り返し。

X軸上の適当な点<1>からスタートします。
点 <1> に該当する Sin(<1>) の値は、グラフ上の<2>の点です。
その<2>の値を、再び Sin の入力とするには、
斜め45度の線(y=x)に“反射”させて、y軸に示された値を x軸上にもってきます。それが<3>です。
<3> に該当する Sin(<3>) の値は、グラフ上の<4>の点です。
以下、<5>, <6>, <7>, <8>・・・と、繰り返します。
繰り返し操作は、グラフ上の Sin と斜めの線に挟まれた細い領域を進み、最後は0に近づきます。
X軸上のどの点からスタートしても、結局は0に近づくので、Sin( Sin( Sin( ・・・ の極限は0です。

次は Cos( Cos( Cos( ・・・ の繰り返し。

グラフの見方は、Sinと同じように矢印を辿ります。
今度の場合、Cos と斜めの線の交点に、矢印は巻き付くように近付きます。
なので、Cos( Cos( Cos( ・・・ の極限は Cos(x) = x となる交点の値です。
x = 0.739085... といった値になります。

同じようにして、 Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ の値が1に近づくことが見て取れます。
(マイナス側の -π < x < 0 の範囲では -1 に近付きます。)


Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ の場合は、1点に収束しません。
最後には0と1の間を振動するような形となります。


もっと試してみましょう。

(π/2) Sin( 2 * ) の繰り返し。周波数を2倍にしたもの。
(π/2) Sin( 2 (π/2) Sin( 2 (π/2) Sin( 2 x ) ) )


(π/2) Cos( 2 * ) の繰り返し。周波数を2倍にしたもの。
(π/2) Cos( 2 (π/2) Cos( 2 (π/2) Cos( 2 x ) ) )


Sin の周波数を上げていったらどうなるか。
Sin( 2 * ) の繰り返し。

Sin( 3 * ) の繰り返し。

Sin( 4 * ) の繰り返し。

Sin( 5 * ) の繰り返し。


Cos の周波数を上げていったらどうなるか。
Cos( 2 * ) の繰り返し。

Cos( 3 * ) の繰り返し。

Cos( 4 * ) の繰り返し。

Cos( 5 * ) の繰り返し。


最後はカオスになる。

* Sin写像のカオス >> d:id:rikunora:20170304 に続く.