ABC予想って何？

そもそも問題がよくわからん、と聞かれたので。

ある自然数を素因数分解して出てきた、全ての約数を並べてみることを考えます。

　例: 45 = 3 * 3 * 5 = 3^2 * 5 なので、45 の約数は { 3 と 5 } です。
　例: 504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7
　　　= 2^3 * 3^2 * 7 なので、504 の約数は { 2 と 3 と 7 } です。

※ 約数を並べるときに、重複する約数は１つだけ残す、ということにしています。
※ 例えば 45 = 3 * 3 * 5 なのですが、3 は重複して２回出てきているので、
※ ２個のうちの１個だけを結果に残しています。
※ 「全部の種類の約数」を並べるのだ、と考えれば良いでしょう。

このようにして並べた約数を、全て掛け合わせるという計算を、rad(n) と表記することにしましょう。

　例: rad(45) = 3 * 5 = 15 です。
　例: rad(504) = 2 * 3 * 7 = 42 です。

※ rad は「根基(radical)」と呼ばれています。

いま、互いに素な（お互いに共通の約数を持たない）３つの自然数 a, b, c があったとして、
それらが a + b = c という関係になっていたとしましょう。
このとき、必ず
　　c < rad( a * b * c )^2
となっている、というのが ABC予想です。

※ 互いに素、とは・・・
※ 例えば 14 と 35 は、14=7*2, 35=7*5 であり、共通の約数 7 を持つので、互いに素ではない。
※ （両方とも、掛け算九九の７の段に入っている）
※ 14 と 15 は、共通の約数を持たないので、互いに素である。
※ （掛け算表の同じ段に入っていない）

証明は極めて難しい。。。
* 宇宙際幾何学者　望月新一
>> http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/

* 参考: フェルマー予想とABC予想
>> http://www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf

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試しに適当な数をあてはめて、確かめてみましょう。

a=9, b=16, c=25
9 + 16 = 25
rad( 9 * 16 * 25 ) = rad( 3^2 * 2^4 * 5^2 ) = 3 * 2 * 5 = 30
30^2 = 900
なので、確かに c=25 < 900 となっています。

a=8, b=1, c=9
8 + 1 = 9
rad( 8 * 1 * 9 ) = rad( 2^3 * 1 * 3^2 ) = 2 * 1 * 3 = 6
6^2 = 36
なので、確かに c=9 < 36 となっています。

a=5, b=27, c=32
5 + 27 = 32
rad( 5 * 27 * 32 ) = rad( 5 * 3^3 * 2^5 ) = 5 * 3 * 2 = 30
30^2 = 900
なので、確かに c=32 < 900 となっています。

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この予想には、さらに発展型があります。
上では、
　　c < rad( a * b * c )^2
としていたのですが、この式の最後の ^2 （２乗）を、もう少し小さな数、
例えば ^1.6 などの中途半端な小数にしたらどうなるか、ということです。
１より大きい中途半端な小数を k と表記すると、
　c < rad( a * b * c )^k 　　　(ただし k > 1)
が成り立たないような例外的な a, b, c の組み合わせは、高々有限個しか存在しない、というのが ABC予想の発展型です。
Wikipedia には、この発展型の説明が書かれています。>> wikipedia:ABC予想
Wikipedia によると、k > 1.6 の場合、例外的な a, b, c の組み合わせは以下の３組しか知られていないのだそうです。

組み合わせ１：
　　a = 2, 　b = 3^10・109, 　c = 23^5
　　rad(abc)^1.6 = 4.82713 * 10^6
　　c = 6436343
組み合わせ２：
　　a = 11^2, 　b = 3^2・5^6・7^3, 　c = 2^21・23
　　rad(abc)^1.6 = 3.63533 * 10^7
　　c = 48234496
組み合わせ３：
　　a = 19・1307, 　b = 7・29^2・31^8, 　c = 2^8・3^22・5^4
　　rad(abc)^1.6 = 2.05503 * 10^15
　　c = 5020969537440000

よくみつけたな〜。
* ABC@Home -- 分散コンピューティングによってa,b,cの組を探すプロジェクト.
>> http://abcathome.com/