さらにｅ進数について
このエントリーは、[id:rikunora:20081228] の続きです。
ｅ進数についての証明を、トラックバックをたどって見ることができました。
「自分なりに考えて、導き出した」説明では、「どれほどの妥当性があるのか、私にも計りかね」る状態だったので。
* ｅ進数 -- http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060414
661 ：デフォルトの名無しさん ：03/04/20 12:42
> 660 こんな証明だったと思うけど、
N 進数で 数値 x を表のに必要な桁数は以下の d のようになる。
d = logN(x)
ここで、N 進数における x の表現効率 y を、
y = N * d = N * LogN(X)
と定義する。y が小さいほど効率が良いとする。
# y の妥当性の由来は N 進数 d 桁の計算回路の規模は y にほぼ比例すると考えてる
# ためだ。 もちろん、「少なくとも N レベルを瞬時に扱えるの非線形性を持つ素子を
# 使わない」というお約束はある。どうしても納得できなけりゃ回路を作って見る事だ。
x に対し y を最小にする N を考える。N で微分するので底を変換する。
y = N * LogN(x)
= N * Loge(x) / Loge(N) = Loge(X) * N / Loge(N)
N で微分すると、
y' = Loge(X) * ((1 * Loge(N) - N * (1/N)) / ((Loge(N))^2))
= Loge(X) * (Loge(N) - 1) / ((Loge(N))^2)
微分係数 y'=0 になる N を見つける。N=e の時に y'=0 は成立する。e ≒ 2.7182。
以上の議論により e 進数において x の表現効率は y は最も小さくなる。現実的な
選択として、N=2 または N=3 を選ぶことになる。
さて、上の証明と、「私なりに考えた説明」がどの程度合っているか、「答え合わせ」をしてみました。
このままですと、せっかくブクマしていただいた皆さん「だまされた」って感じるかと思うので。
まず(前提)、(仮定)について。
上の証明では # のところに明記されています。
私の場合は、ほぼ無意識に２状態のランプを考えていたので、
「だったら３状態のランプはどうなのさっ」という疑問につながるわけです。
なので # に相当する前提を明記すべきでした。
式の部分だけを抜き出すと、上の証明と、私の説明は奇しくも似ています。
私の説明中では、
「Ｍ = Ｎ ^ Ｋ を一定としたときに、Ｎ*Ｋ を最小とするようなＮを求めよ」・・・[設問１]
という設問を立てており、これより下の部分は実質的に上の証明と同じです。
上の証明では
「N 進数における x の表現効率 y を、
y = N * d = N * LogN(X)
と定義する。」
となっていて、ここから話がスタートしています。
一方、私の説明に「表現効率」というタームはなくて、代わりに「ランプの数」が入っています。
なので、結局のところ
・ランプの数という導入が悪い。
これはたとえ話か、自分なりの着想点と割り切って、[設問１]から説明をスタートすべきであった。
・２状態素子だからこうなるんだよ、という前提を、もっと明示すべきであった。
・[設問１]以下の説明については、まあ、いいんじゃないかな。
他の部分については、もうマジメにフォローする気にはなりません。
勝手に妄想繰り広げてますんで、よろしく。
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※追記：
上のｅ進数の証明があるブログでは、続けて３進コンピュータや３状態の電球についての考察が進められています。
* ｅ進数
>> http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060414
* ユニット
>> http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060415
* ３進コンピュータ
>> http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060417
* ３状態の電球
>> http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20090102
