なぜコンピューターは２進法で、人間はそうでないのか

なぜコンピューターは２進法を採用しているのでしょうか。
よく「２進法はＯＮとＯＦＦだけなので、実際に電気回路を作るのが簡単だから」という説明が為されています。
でも、電気にはプラスとマイナスがあるのだから、
プラス、マイナス、ゼロの３つを使った３進法の方が、ひょっとしたら効率的ってことはないですかね。

※以下、最初の説明はいきなり２状態のランプを前提としてスタートします。
この考えは、２状態素子による電子回路での最適は何か、ということにはあてはまるのですが、
最初から３状態以上の素子があったとしたら、という疑問には答えていません。(1/5追記)

実は、２進法には数学的な根拠があります。
最も数少ない部品で数字を表すことができるのは「ｅ進法＝2.71828･･･進法」だからです。
「点灯するか、消灯するか」の２状態しかないランプを使って、数字を表すことを考えてみましょう。
例えば９９９までの数を、２進法、３進法、１０進法で表してみたのが下の図です。

２進法では１０個のランプ、３進法では１４個のランプ、１０進法では２７個のランプが必要です。
２進法が最も効率的ですね。

上の図の考え方を一般化してみましょう。
たとえば１０００を表すのに必要なランプの数は、
１０進法では 1000 = 10 ^ 3 と考えて、10 * 3 = 30 個です。(1/5修正)
たとえば９９９を表すのに必要なランプの数は、
１０進法では 999 = 10 ^ 3 - 1 と考えて、(10 - 1) * 3 = 27 個でした。
ちゃんと見ると一致してはいないのですが、ここは -1 とかを無視して、大ざっぱに次のようにとらえてみます。
Ｎ進法で、ある数Ｍを表すのにＫ桁を要するとすれば、Ｍ = Ｎ ^ Ｋ。
このとき必要なランプの数はＮ*Ｋ個。
問題は、Ｍ = Ｎ ^ Ｋを一定としたときに、Ｎ*Ｋを最小とするようなＮを求めよ、ということです。
Ｍ = Ｎ ^ Ｋの両辺の対数をとります。
　　log(Ｍ) = Ｋ log(Ｎ)
log(Ｍ) は一定の数なので、改めてＣと置きましょう。
　　Ｃ = Ｋ log(Ｎ)
ここから、ＫをＮで表すことができます。
　　Ｋ = Ｃ / log(Ｎ)
このＫを、Ｎ*Ｋに代入してＫを消去すると、
　　Ｎ*Ｋ = Ｃ * Ｎ / log(Ｎ)
つまり、問題はＮ / log(Ｎ) を最小にするＮは何か、ということです。
　ｆ(Ｎ) = Ｎ / log(Ｎ) と置いて、ｆ(Ｎ)を微分してみましょう。
　ｆ’(Ｎ) = ( 1 / log(Ｎ)^2 ) * ( log(Ｎ) - 1 )
ここでｆ’(Ｎ) = 0 となるのは、log(Ｎ) - 1 が 0 になるとき。
ということで、Ｎ = e となったときが、最も効率の良い表現方法になります。
e = 2.71828･･･なので、２進法か、３進法が良いということになる。
実際には、２進法の方が回路作りがシンプルだったので、
現在のコンピューターは（ほとんど）２進法を採用しているのです。

※ 2.71828･･･ってことは、上の理由だけでは２進法対３進法の完全決着は付いていない、ということですね。
現在のテクノロジーでは、回路作りという現実的な理由で２進法が圧倒的に優位ですが、
もし仮に３進法が表現できるような特別な回路素子があったら事情は変わってくるのかもしれません。(1/5追記)
* フォロー記事: さらにｅ進数について >> [id:rikunora:20090103]

以上で２進法には納得がいったと思うのですが、そうなると、また新たな疑問が生じてきます。
　「なぜ人間の頭脳は２進法ではないのか？」
もし２進法が最も優れた方式ならば、当然、人間の頭脳も２進法となって然るべきではないでしょうか。
「全か無かの法則」で、神経電位も、ニューロン発火も、あたかも２進法のように振る舞います。
人間のハードウェアは２進法っぽいのに、たまたま指が５本だったから、ソフトウェアは１０進法なのか。
実のところ「指が５本だったから」には、ちょっとした疑念の余地があります。
というのは、世界には１２進法を採用していたところもあるからです。
時計は１２進法だし、英語の eleven, twelve だけ特別な言い方をするし。
時計が１２進法になったのは、円周を半径の長さで区切ってゆくと正６角形になるからだと思います。
Wikipedia におもしろいことが書いてありました。
>> wikipedia:十二進法
「10 ではなく 12 が底になった理由として、片手の人さし指から小指の計 12 個の節を親指で示す数え方が示唆されている。」
指が１０本という数え方は、それほど絶対的なものではない。
ひょっとしたら別のものになっていた可能性もあったわけです。
だとすれば、人間が素直に２進法を採用しなかったのは、いよいよもって不思議です。

人間が２進法ではない理由。
その答を現時点で明確に持っている人は、たぶんいないと思います。（もしいたら教えて下さい）
私なりにいろいろと考えたところ、大きく３つの方向性があると思います。
１．実生活上２進法は不便。
　-- つまり、理論上の最適と、実生活上の最適にはズレがある。
２．人間の頭脳は、まだ最適に達していない。
　-- 既存のソフトウェアには改善の余地があって、「もっと頭が良くなれる」。
３．人間の思考方法は、デジタルコンピューターとは根本的に異なる動作原理に基づいている。
　-- なぜ人間がデジタルで無いかを突き詰めれば、その先には想像もしなかった未知の世界が広がっている。
以下、順番に見ていきましょう。

１．実生活上２進法は不便。
実際に、ちょっとやってみれば分かりますよね。
１と０を、ずらずらずらーっと連続して書くのは、どう見ても無駄だし、間違いやすい。
数字の種類が少なければ、数字の桁数は長くなる傾向にある。
かといって数字の種類を増やせば、今度はその、たくさんの種類の数字を扱うのが煩雑です。
ということは、数字の種類と長さの間で、最もよいバランスがとれることになります。
ある数字Ｍを、Ｎ進法で表せば、その桁数Ｋは
　　Ｋ = log[N](Ｍ)
となります。（log[N] は底を Nとする対数）
このとき、めんどうくささｆ(N) = 桁数Ｋ＋基数Ｎを最小にするＮは、いくつでしょうか？
　ｆ(N) = Ｋ + Ｎ
　　　　= log[N](Ｍ) + Ｎ
　　　　= { log(Ｍ) / log(Ｎ) } + Ｎ
何も書いてない log() は、e を底とする自然対数のこと。
底の変換公式ってやつですね。
でもって、最小値を探すために微分してみます。
　　ｆ(N)' = - { log(Ｍ) / log(Ｎ)^2・Ｎ } + 1
ｆ(N)' = 0 となる最小ポイントを探しているのですから、
　　log(Ｍ) / log(Ｎ)^2・Ｎ = 1
　　log(Ｍ) = Ｎ・log(Ｎ)^2
うーむ、これ以上は簡単にできそうにないですね。
左辺にＭが残りますから、Ｎの答は、扱う数Ｍによって変わってくる。
扱う数Ｍが小さければ、数字の種類も少しで良いし、
数Ｍが大きければ、数字の種類はたくさんあった方が良い。
考えてみれば当然でしょう。
上の関係式から、log(Ｍ) とＮの関係をグラフに書いてみました。

横軸が基数Ｎ（Ｎ進法）、縦軸は扱う数Ｍの桁数（１０進法での桁数）です。
上のグラフはＮの範囲が１０まで、下のグラフは２０までです。
（グラフをよく見るとＮ=0.13 付近に小さいコブができているのがちょっとおもしろい。
　実は N=1/e^2 に極大点があります。本筋とはあまり関係ないですが。）
たとえば、扱う数を１０００程度とすると、桁数は３桁ですから、
グラフの縦軸の値３を横にたどって、ぶつかった点、つまり４進法が最適ということになります。
２〜８進法で１０００を表すと何桁になるかを、表にしてみました。

表の右端に「桁数＋数字の種類」が書いてあります。
これを見ると、確かに４のときが最小になっていますね。
それでは、１０進法で最適となるような数字Ｍは、どの程度の大きさかというと、およそ２４桁。
つまり１０００垓（がい、兆の１０００倍）程度ということになります。
これはかなり大きな数ですから、１０進法は、ちょっと記号が多過ぎなのでしょう。
ただ、最初に１回記号を覚えるのと、その後いちいち桁数の多い数字を書くとの、
トータルでどちらがめんどくさいかと言えば、やはり後から数字を書く方の労力の方が多いと思います。
そのことを考慮に入れれば、数字の種類は少し多めくらいでちょうど良いのでしょう。

２．人間の頭脳は、まだ最適に達していない。
１０進法が最終的な答なのではなくて、もっと良い方法があるのではないか。
デジタル化の進んだ今日、最適なのは８進法か１６進法なのではないか、私は個人的にはそう思っています。
その理由は「音楽」。
（今日主流となっている）音楽は１オクターブ８音ですし、
もっとも普及しているリズムは４拍子、８ビート、１６ビート、と２の累乗の形をしています。
もし人間のハードウェアが２進法でできていたなら、人の刻むリズムはそれを反映して、自然と２の累乗になるのではないか。
あたかもコンピューターのクロックを分周するように。
これが、私が８進法を推す理由です。
もう１つの候補として１６進法もあるのですが、上で計算した「最も効率的な数字記号の種類」からすると、
１６進法はちょっと多すぎるかなと思うわけです。
ところで、２の累乗リズムはそれほど普遍的なのでしょうか。
まず、音楽には２拍子、４拍子の他に、３拍子もあります。
ワルツは３拍子。
なので、２の累乗リズムには例外もあるではないかと思えるのですが、ちょっと待ってください。
確か、理論上最も効率的なのは「ｅ進法＝2.71828･･･進法」でしたね。
つまり、実際に取り得るのは基本的には２進法なのだが、場合によっては３進法もありってことです。
これって、正に音楽が採用しているリズムそのものではないですか。
主流となる大多数の音楽は２進法タイプ。
中にはちょっと変わった３進法タイプもある。
５拍子以上のリズムは、よほど変わった現代音楽以外あり得ない。
これが最も自然なリズムなのです。
そして、自然なリズムにのって数を数えるなら、やはり２の累乗進法が優れています。
（３進法も候補には残るのですが、どちらかを選べというなら、やはり主流を残さざるを得ないので。）
ドレミファソラシドの８つの符号を使って曲を作れば、自然にノリの良い曲ができますけど、
０から９の１０個の符号を使って曲を作ろうとすると、どうもうまく合わない。
５拍子をベースとする１０進法なんて、全くノれない、Coolじゃないですよ。

３進法の可能性については、いろいろ考えた方もおられるようです。
* 三進法のコンピューターが、二進法のコンピューターより優れた点は？
>> http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2083198.html
「ワルツを刻むコンピューター」なんて、ちょっとワクワクしますね。
でも現実的には、あえて主流を外れて３進法に乗り換えるメリットは、ほとんど無いように思えます。

ところで３・３・７拍子は、一見変則的に見えるリズムです。
あるいは、俳句は５・７・５。
七五調って言葉もあるくらいです。
なので、５拍子を切り捨てるのは日本人としてわびさびを解していないのではないか、という反論があるかもしれません。
でも、よく聞いてみてください。
３・３・７拍子も、俳句も、実は４拍子を基準としているんです。
ちゃっちゃっちゃ(休み)、ちゃっちゃっちゃ(休み)、ちゃっちゃっちゃちゃ、ちゃっちゃっちゃ(休み)。
この(休み)を入れてカウントすれば、実は４拍子でしょ。
俳句についても、詠んだときの余韻の長さまで含めてカウントすれば、普通に４拍子のリズムになってます。
これを聞いて確認してみよう。
* 初音ミクに「古池や・・・」を詠ませてみた。
>> http://brownian.motion.ne.jp/memo/OldPond.mp3
詩歌は余韻が大切なんですね。
ということで、２の累乗リズムには、実はかなりの普遍性があります。
このリズムを数え方の基底に置くのは、良いアイデアだと思うのですが、いかがかな？

３．人間の思考方法は、デジタルコンピューターとは根本的に異なる動作原理に基づいている。
えーと、やはり人間の脳には、未知なる原理が潜んでいて欲しいなと思います。
２進法を超えた「あいまい処理」みたいな。
でも、これについては未知なので、いまのところコメントのしようがありません。
脳は誰でも持っているので、自分自身でよーく考えてみてください。
なぜ人間は、２進数ではないアナログ感覚で数をとらえることができるのか。
きっとそこには、未知なる原理が潜んでいるに違いありません。

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※ 12/31 追記
ブックマークに「いやいや、オクターブは7進数でしょ。」という指摘があった。
あっ、その通りだ。１オクターブは７進法じゃないか。
なので、「１オクターブ８音」というのは根拠薄弱でした。
なぜ１オクターブはドレミファソラシなのか。
そのことは、この本に詳しく書かれています。

音律と音階の科学―ドレミ…はどのようにして生まれたか (ブルーバックス)

作者: 小方厚
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2007/09/21
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この本によると、
・人が不協和音を感じる実験データ
・倍音、高調波の重ね合わせ
から、ドレミファソラシが導かれるとのことです。
これがすごく納得のゆく説明なんですよね。
確かに、ドレミはリズム（クロック）というより、ハーモニーから形になったという気がします。
なので、オクターブ＝８進法は、やっぱりこじつけっぽい。
あえてこだわるなら、「ドレミファソラシド」の８音を口ずさむと、４拍子の自然なリズムに乗りやすい。
代表的な音を７つに収めたのは、口ずさんでちょうど良い程度の長さっていうのがあるかな、と思います。
　 * Do☆Re☆Mi☆Fa☆Sol☆La☆Si☆Do【初音ミク】
　 >> http://www.nicovideo.jp/watch/sm4016258
この歌けっこう好き。。。ランキング１位にはなりそうもないけど。