口コミがブレークする数は
それは自然対数の底、ｅである。
１人が平均してｅ人以上に伝達すれば、その情報はブレークする。
ｅ人未満の場合、その情報はやがて自然消滅する。
ｅ = 2.718281828... （鮒、一鉢二鉢 一鉢二鉢）は、不思議な数だ。
円周率と同様、超越無理数であり、規則性のない数列がどこまでも続く。
しかし、円周率が何の数字か直感的に明らかなのに対して、
「ｅとは何か」という問に、一言で素早く答えるのはなかなか難しい。
私も長い間よくわからないままに来たのだが、最近ようやくその本質を掴みかけてきた気がする。
ｅとは何か、その答は「口コミがブレークする数」のことである。
もしあなたが、何らかの噂話を聞いたとき、その信憑性をどのようにして決めるだろうか。
まず重要なのは、情報源が単数か、複数かの違いだろう。
たった１人から聞いた話は、あくまでも「その人個人の意見」に過ぎない。
ところが、もし異なる２人から同じ話を聞いたなら、それは個人の意見ではなく「一般的な事実」となる。
しかし、事実に留まっているだけでは、さらに他の人に伝搬するまでには至らない。
口コミのレベルにまで達するには、２人では足らず、もう少しプラスアルファが必要なのだ。
３人いれば、ほぼ確実にブレークするが、それではやや多い。
ブレークに至る、ギリギリの数が２．７１人、つまりｅ人なのである。
このブレークする数には、数学的な理由がある。
それは、次の問題を考えることからわかる。
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２人がトランプの札をＡからＫまで、１３枚ずつ持つ。
同時に１枚ずつ札を出していったとき、最後まで１度も同じ数があたらない確率はいくつか。
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この問題は、「出合いの問題」、あるいは「モンモールの問題」という名で知られている。
先に答を言うと、この確率はほぼ 1/e となる。
上ではトランプの札の数、１３枚で考えたが、対象となる札の数が大きくなればなるほど、確率は 1/e に近づく。
しかも、収束はとても速く、対象となる札数が７枚程度であっても、すでに小数点４桁目まで 1/e に一致している。
この出合いの確率と、口コミとの間にどのような関係があるのだろうか。
口コミのメカニズムは、出合いを何度も繰り返すものだと考えることができる。
例えば最初の世代に、１３人の人がそれぞれ情報を有していたとしよう。
この１３人をトランプの札のようにシャッフルして、次の１３人に情報を伝達する。
そのとき、自分と同じ数に当たった場合は情報が伝わり、違う数に当たった場合は情報が途絶えてしまうと考える。
そうすると、次の世代で情報が完全に途絶えてしまう確率は 1/e である。
そこで情報が途絶えないようにするためには、試行回数をｅ回まで増やすか、１人ではなくｅ人に伝達を行う。
世代交代のたびに、ちょうどｅ倍すれば、平均して情報は減ることもなく、増えることもなく、次世代に受け継がれてゆく。
もし伝達の「濃度」がｅ倍よりも低ければ、何度も伝達を繰り返すうちに、情報は尻すぼみになる。
反対に伝達の「濃度」がｅ倍よりも高ければ、何度も伝達を繰り返すうちに、情報はどんどん膨れあがってブレークを生むことになる。
世代ごとにある一定の規則でもって生成、消滅を繰り返すものは、平均してｅ倍以上になるか、それ未満かによって挙動が分かれるのではないかと思う。
わかりやすいのは、計算機シミュレーションで「セルオートマトン」であろう。
次世代のセルが 1/e = 0.3678 程度生きのこるあたりに、まず第一の境界線があるように思う。
参考サイト：「よく目にするラングトンのλとは、結局なんなのか」
http://www.asahi-net.or.jp/~li7m-oon/thatta01/th9802/lambda.html
この記事は「計算機シミュレーション入門」というサイトの中の「関連コンテンツ」に入っていました。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/kougi/simulation/
あるいは、最近よく話題に上がる「社会ネットワーク」みたいなものも、平均してｅ個以上のノードにつながっているかどうかが、生き死にの分かれ目なのではないか。
それでは、どのようにして 1/e という答が求まるのだろうか。
まず、カードの順序を並べ替える全順列のうち、同じ位置にカードがこないものだけをピックアップしてみる。
例えば、３枚のカード(1,2,3)を、全て異なる位置に置き換える並べ方は、(2,3,1), (3,1,2) の２通りとなる。
具体的に書き出すと、こんな風になる。
カード２枚 : 1通り : (2,1)
カード３枚 : 2通り : (2,3,1), (3,1,2)
カード４枚 : 9通り : (2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1)
それでは、１枚カードが増えたとき、この置き換え順列のパターン数はどういった規則で増えるのだろうか。
いま、カードがｎ枚のときの順列パターン数を Ｄ[n]通りとする。（Ｄは出合いのＤ）
ここから先はややこしいので、具体的にＤ[4]で考えてみる。
置き換え前（１，２，３，４）
置き換え後（a1, a2, a3, a4）
Ｄ(4)にもう１枚だけカード「5」を追加したときのパターン数を考えてみると、次の２つの場合がある。
* ケース１：
置き換え前（１，２，３，４，５）
置き換え後（a1, a2, a3, a4, ５）
まず「5」を最後尾に付けてみる。この状態で順列パターン数はＤ[4]のまま変わらないが、５が重なったままとなっている。
そこで、置き換え後の「5」と、a1〜a4 のいずれかを交換すれば、全く重なりのない順列パターンができあがる。
例えば「5」と a3 を交換すれば、こんなふうになる。
置き換え前（１，２，３，４，５）
置き換え後（a1, a2, ５, a4, a3）
このとき、全体では (a1〜a4 の４通りの交換)ｘＤ[4] だけのパターン数となる。
* ケース２：
実は、上のケース１だけではまだ数え落としがある。
それは、カードは新たに１枚増えるのだから、「料理する前」の先頭の４つの順列は必ずしも全てが異なっている必要はなく、１個だけ重なっていても大丈夫なのである。
たとえば「4」が重なっている順列の最後尾に「5」を追加する。
置き換え前（１，２，３，４，５）
置き換え後（a1, a2, a3, ４, ５）
この状態で順列パターン数はＤ[3]となっているが、まだ４と５が重なっている。
そこで、４と５を交換すれば、めでたく重なりのない順列パターンができあがる。
置き換え前（１，２，３，４，５）
置き換え後（a1, a2, a3, ５, ４）
４と同じことが、３，２，１についてもあてはまるから、全体で(４，３，２，１ の４通りの交換)ｘＤ[3] だけのパターン数となる。
なぜ「ケース２」という場合があるのか、わかりにくいので補足すると、
置き換え前（１，２，３，４）
置き換え後（a1, a2, a3, ４）
という、１個だけ重なっている順列パターンは、新たに「5」という数を付け足すことによって
全く重なりのない順列パターンを作り出すことができるからだ。
つまり、全く重なりのない順列パターンを作り出す「もと」には、
* ケース１： １枚カードが少ない、全く重なりのない順列パターン Ｄ[4]
* ケース２： １枚カードが少なく、１つだけ重なりのある順列パターン
の２つの場合があるのだ。
さて、以上からカードを１枚追加したときの、Ｄ[n]が増える規則が導き出せる。それは、
Ｄ[n] = (ｎ-1)・(Ｄ[n-1]＋Ｄ[n-2])
という規則である。
この式を変形すると、
Ｄ[n] - ｎＤ[n-1] = - ( Ｄ[n-1] - (ｎ-1)Ｄ[n-2] ) ・・・(1)
という形になる。
式の左右をよく見比べると、右辺は左辺の n を (n-1) で置き換えて、マイナスを付けたものになっている。
つまり、右辺 Ｄ[n] - ｎＤ[n-1] をまとめて Ｆ[n] と書けば、上の(1)式は
Ｆ[n] = - Ｆ[n-1]
というきれいな形になる。
ここから
Ｆ[n] = (-1)^n・Ｆ[2] = (-1)^n
（Ｆ[n] のスタートを考えてみると、ｎ= 2 のとき、順列パターン数は１だったから Ｄ[2] = 1 。
ここから F[2] = Ｄ[2] - 1・Ｄ[1] = 1 となることがわかる。）
このＦ[n] をもとの Ｄ[n] に戻すと、
Ｄ[n] = ｎＤ[n-1] + (-1)^n ・・・(2)
となる。
さて、今問題にしていた確率Ｐ[n]は、Ｄ[n]を全順列の数 ｎ! で割った値である。
Ｐ[n] = Ｄ[n] / ｎ!
この式を
Ｄ[n] = ｎ!・Ｐ[n]
と書き直して、(2)式に代入する。
ｎ!・Ｐ[n] = ｎ・(ｎ-1)!・Ｐ[n-1] + (-1)^n
Ｐ[n] - Ｐ[n-1] = (-1)^n / ｎ!
つまり、Ｐ[n] は
Ｐ[n] = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! ・・・
なのである。
この級数は、ｅ^x を展開したものにとても近い感じになっているであろう。
ｅ^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! ・・・
ここで x = -1 とすると、
ｅ^-1 = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! ・・・
おおっ、確かに Ｐ[n] と ｅ^-1 が一致しているではないか！
参考図書：
（以上の計算は「数学セミナー増刊 数学１００の問題」という本の、ほぼ丸写しです。）
