チェビシェフの不等式のかんたん理解

どのような標本・確率分布でも・・・平均から 2標準偏差以上離れた値は全体の 1/4 を超えることはなく、
一般にn標準偏差以上離れた値は全体の $\frac{1}{n^2}$ を超えることはない。
　　　　>> wikipedia:チェビシェフの不等式より.

式で表すと、

　 $P( |x - \mu| \geq a \sigma) \leq \frac{1}{a^2}$
　　P() は、カッコの中が成り立つ確率、という意味。
　　μは平均。|x-μ| は、個々のデータの値と平均との偏差のこと。
　　σ は標準偏差。
　　a には任意の数を当てはめることができる。
* そんなの常識、あたりまえでない大数の法則 >> http://miku.motion.ne.jp/stories/08_LargeNum.html

このように書くと何だかとても難しいことのように思えますが、実はアタリマエのことを言っているに過ぎません。

● 最も単純な標準偏差１の分布

最も単純な標準偏差１の分布は、データが +1と -1の、２個だけというものでしょう。

　標準偏差σ = √{ (1^2+ (-1)^2) / 2 } = 1。
この状況をチェビシェフの不等式にあてはめると、
『平均０から、１標準偏差以上離れた値は全体の 1/1 を越えることは無い』
つまり、全部のデータを１よりも遠くに引き離すことはできない、ということを言っています。
試しにデータを少しだけ動かして +1.1 と -1.1 にしたならば、それに合わせて標準偏差も 1.1 と大きくなります。
ならば、+1.1 と -0.9 といった具合に動かしてみると、今度は平均が 0.1に上がるだけで、
やはりどちらのデータも標準偏差の1.1を上回る（あるいは-0.9を下回る）ことはありません。

つまり『標準偏差とは、データを２個の点で代表させたとき、その広がり方のこと』だったのです。
平均値を『データを１個の点で代表させたとき、その値のこと』だと考えれば、
標準偏差とは、いわば“平均値の２個版”だと見なせます。
データが２個だったとき、チェビシェフの不等式が主張する通り「どのデータも標準偏差を超えることはない」、
・・・そもそも２個のデータの隔たりのことを標準偏差と呼んでいたのだ、と理解できます。

● 標準偏差が２を越える分布

次に、一部のデータが標準偏差２を越えるような、なるべく単純な分布を考えてみましょう。
２個のデータを +2と -2 に置いて、これらがちょうど標準偏差２に位置するように調整すると、こうなります。

データを +2 と -2 に１個ずつ、あとは０を６個配置する。
最も隔たりの大きい +2, -2 のデータをちょうど標準偏差２の位置に持ってくるには、
標本全体としての標準偏差を１に調整しなければなりません。
それには、±２の広がりを打ち消すだけのデータを平均の０に置く必要があります。
（必ずしも０に置かなくても良いのですが、０に置くのが標準偏差を縮めるには最も効率的です。）
標準偏差を１に保つには、
　{ (+2)^2 + (-2)^2 } / (全データの個数) = 1
となるので、(全データの個数) = 8 だと分かります。
このとき、標準偏差２を越える（２以上の）データは８個中２個なので、
確かにチェビシェフの不等式が主張する通り 1/2^2 = 1/4 となっています。