ラチェットとゆらぎ
のこぎりの歯のように、非対称でギザギザな地形の上に、小さなボールを置いたとします。
この地形全体をユサユサ揺さぶったら、ボールはどちら側に動くでしょうか？
直観的には、ボールはのこぎりの歯に引っかかるので、左側に動くような気がするのですが・・・
そこで、ボールの動きをシミュレーションによって確かめてみました。
* 確率的ラチェット（要：Silverlight 4）
>> http://brownian.motion.ne.jp/memo/Ratchet01/
シミュレーション画面の、一番上にある２つのスライドバーによって、ラチェットの高さと傾きを調整します。
左上の RndForce にチェックを入れると、ランダムな揺さぶる力が加わります。
（RndForce の右隣のスライドバーは、ランダムな力の大きさ調整）
【１】まず、ラチェットの形を左右対称にしたまま（スライドバー=.050）揺さぶってみます。
１００回の試行のうち、左にはみ出した回数５１回、右にはみ出した回数４９回。
当然ながら、左右で５分５分に分かれました。
【２】次に、ラチェットの形を右側に寄せて（スライドバー=.080）揺さぶってみると、
１００回の試行のうち、左が回数５２回、右が回数４８回。
ラチェットの形を変えても、結果は５分５分のままのようです。
【３】ラチェットの形を左側に寄せて（スライドバー=.020）揺さぶってみると、
１００回の試行のうち、左が回数５４回、右が回数４６回。
やっぱり５分５分でした。。。
ランダムに揺さぶった場合、直観に反して、ラチェットの形をどのように変えてもボールは左右５分５分に動くようです。
なぜ、ボールは一方向に動かないのでしょうか。
この図は、有名な永久機関の一例です。
非対称な三角形の周囲に鎖を掛けたなら、左側の鎖の方が長くて重くなるので、鎖の全体は左向きに回るのでしょうか？
やってみればすぐ分かることですが、どんな形状に鎖をかけても、決して一方向に回ることはありません。
ラチェットとボールも、この鎖の例と同じことなのです。
現実にラチェットのような機構が一方向に機能しているのには、実は摩擦が重要な役割を果たしています。
もし摩擦が無かったなら、ここでのシミュレーションのように、ラチェットが一方向に機能することは無いでしょう。
何とかしてボールを一方向に動かすことはできないものでしょうか。
ランダムな力ではなくて、周期的に、上手いタイミングで力を加えてみたらどうなるか。
次に、ボールを一定の周期で揺さぶってみました。
【４】ラチェットの高さを（スライドバー=32.0）、形を右側に寄せて（スライドバー=.080）、Sin波に従った一定周期の力を加えてみる。
上から２番目のSinForce1にチェックを入れ、その右横にあるスライドバーを、それぞれ（強度＝10.000）、（周波数＝.725）とする。
ここで加えるSin波は、初期位相をランダムに変えています。（そうしないと、毎回全く同じ結果が出るので）
結果、１００回の試行のうち、左が回数６４回、右が回数３６回。
明らかに左が多くなりました。（もし左右が同じだとすると、ここまで偏る確率は0.3%程度）
【５】ラチェットの向きを左右反対にして（スライドバー=.020）、上の【４】と同じことをやってみた。
結果、１００回の試行のうち、左が回数４４回、右が回数５６回。（偏る確率13.6%）
１５０回の試行のうち、左が回数６８回、右が回数８２回。
上の【４】ほどはっきりしなかったので、少し多めに繰り返してみました。
今度は【４】とは逆に、右側が多くなっています。
Sin波のようにボールを一定の周期で揺さぶった場合、ランダムな場合と違って、一方向への偏りが見られます。
ただ、Sin波であれば必ず偏りがあるのかというと、そう言うわけでもありません。
実は上の【４】【５】は、スライドバーの値を試行錯誤で２〜３回変えてみて、偏りそうなところを探し当てた結果なのです。
まず、Sin波の大きさ（強度のスライドバーの値）が小さすぎると、偏りが生じないようです。
強度をある程度以上大きくして、周波数を調整すると、ボールがタイミングよくサーフィンのように走り出すポイントがあります。
Sin波でのボールの動きは、ランダムな力と比べると明らに違っています。
ランダムな場合、ボールは単純に行ったり来たりを繰り返すのですが、
Sin波の場合、ボールが一度走り出すと、勢いが付いて一気に幾つかの山をツツーッと通過する様子が見られます。
この、ツツーッの長さがうんと長くなると、【４】【５】のような偏りが見られるようになります。
ランダムな力と、一定周期のSin波の力とでは、何か本質的な違いがあるようです。
それでは、Sin波の周期を乱したら、ボールの動きはランダムに近づいてくるのでしょうか。
そこで、Sin波をグチャグチャに混ぜた状態、周期の異なる複数のSin波を重ねて揺さぶることを考えます。
Sin波を重ねる、とは、こんなイメージです。
このグラフは、大きさと周期の異なる３つのSin波です。
このうちの２個のSin波を足し合わせると、こんな感じに「うなり」の状態になります。
さらに、３つとも足し合わせてみると、より波形が崩れた感じになります。
こんな感じに、４つ、５つと、たくさんの波を重ね合わせれば、
最後にはグチャグチャになって、ランダムと同じ状態になるのではないでしょうか。
以上のアイデアに基づいて、まずSin波を２つ重ね合わせた力でボールを揺さぶってみました。
【６】Sin波２個の重ね合わせ、ラチェットの形は右寄り（スライドバー=.080）。
（１回目）１００回の試行のうち、左が回数６２回、右が回数３８回。（偏る確率 1.0%）
（２回目）１００回の試行のうち、左が回数５９回、右が回数４１回。（偏る確率 4.4%）
かなり偏っています。
【７】Sin波２個の重ね合わせ、ラチェットの形は左寄り（スライドバー=.020）。
（１回目）１００回の試行のうち、左が回数４８回、右が回数５２回。（偏る確率38.2%）
（２回目）１００回の試行のうち、左が回数４１回、右が回数５９回。（偏る確率 4.4%）
それなりに偏っているかな。
次いで、Sin波を３つ重ね合わせた力でボールを揺さぶってみました。
【８】Sin波３個の重ね合わせ、ラチェットの形は右寄り（スライドバー=.080）。
１００回の試行のうち、左が回数５６回、右が回数４４回。（偏る確率13.6%）
わずかに偏っているかな。
【９】Sin波３個の重ね合わせ、ラチェットの形は左寄り（スライドバー=.020）。
１００回の試行のうち、左が回数４５回、右が回数５５回。（偏る確率18.4%）
偏っているかどうか、はっきりしない。
これだけの結果では、あまりはっきりしたことは言えないのですが、どうやら
・たくさん重ね合わせた方がランダムに近づいている。
・３つ重ねた程度では、Sin波のクセを完全に消し去ることは難しい。
といった傾向があるようです。
たくさんのSin波を重ね合わせて、ランダムな力を再現することはできるのでしょうか。
その答は、フーリエ変換という数学的な手法によって確かめられています。
まず、ランダムな力についてですが、このシミュレーションでは左右に50%,50%の確率で、小さな一定の力を加えています。
こうした50%,50%の力を何度も加え続けると、力の積算結果は正規分布（ガウス分布）に近づきます。
この正規分布をフーリエ変換すると、Sin波の重ね合せに分解することができます。（連続、非連続の違いには目をつぶって）
分解した結果によると、Sin波をExp(1/周波数の２乗)の強度で重ね合わせれば、正規分布に近づく、ということが分かっています。
（正規分布のフーリエ変換は、実はまた正規分布となるのです。）
このシミュレーションで言えば、(強度) = Exp(1/(周波数)^2) という関係に従ってスライドバーを調整すれば、最もランダムに近いということになるでしょう。
ところで、波の持つエネルギーは、ちょうど周波数の２乗に比例します。
そのことからすると、重ね合わせる個々のSin波の持つエネルギーが、指数的に減衰している全て等しいときが、最もランダムな状態であると言えます。
逆に言えば、どれか１個のSin波が突出していたり、欠けていたりすれば、それだけランダムな状態からは離れている
〜 何らかの規則性を有しているのだと言えそうです。
ラチェットとボールにはおもしろい性質があって、
・全くのランダムだと、左右５分５分になる。
・ランダムな状態から外れるに従って、どちらか一方への偏りが強くなる。
つまりこのラチェットとボールは、「ランダム-規則性判定機」の役割を果たしているわけです。
今回のシミュレーションは、以前に紹介した以下の記事について掘り下げたものです。
* 奇跡も、魔法も、あるんだよ >> d:id:rikunora:20120619
こんな簡単なシミュレーションでも、イメージを掴むにはかなり役立ちます。
ただ、これで何か目新しいことがわかったかというと、依然、謎は謎のままですなー。
