選択肢テストの正しい評価

○×式の選択肢テストで０点を採った生徒がいたとしたら、
その生徒は本当に何も分かっていないのか・・・
たぶん、そんなことはありません。
全くのでたらめに○×を付ければ、半分くらいは偶然当たってしまうからです。
○×２択のテストで０点を採るのは、１００点を採るのと同じくらい難しい。
つまり、○×テストでは５０点が０点(?!)なのです。
ググってみたら、こんな記事があった。
* 入試問題全問の正解がわかっていたが、抗議のために敢えて0点を取ったと主張している若者
>> http://rate.livedoor.biz/archives/50255550.html

偶然当たることを考えに入れれば、○×テストの評価はこんな風になるでしょう。
　　５０点 = 理解度　　０％
　　６０点 = 理解度　２０%
　　７０点 = 理解度　４０%
　　８０点 = 理解度　６０%
　　９０点 = 理解度　８０%
　１００点 = 理解度１００％
○×テストの８０点は、記述式テストの６０点に相当する。
これって「選択肢問題は易しい」という感覚にだいたい合っていると思う。

しかし、この数え方からすると
　　４０点 = 理解度　２０% ?!
となり、５０点の人より４０点の方が上だということになってしまいます。
やはりこれは不自然に思える。
だいたい４０点といった微妙な点数は、狙ったというより、たまたまそうなった可能性の方が高いでしょう。
それでは、どの辺までがたまたま偶然で、どこから先が狙わないと取れない点数なのか。

このグラフは、２択の○×問題が１０題あったとき、取れる点数の確率を示したものです。
・青いグラフは理解度０％＝全くの偶然、
・赤いグラフは理解度５０％＝５題は初めから正解で、残る５題が偶然に左右される、
としています。
まず青いグラフの方に着目して、点数が偶然４０点以下になる確率を見積もると 37.7%、
これならたまたま起こったとしても不思議ではありません。
※ グラフはExcelの二項分布(BINOMDIST)を使って描きました。
※ 確率は０〜４までの青い棒を足し合わせた数値です。
では、もっと少なく、点数が２０点以下（１０問中２問正解）だったらどうか。
この場合の確率は 5.5%、かなり小さな値ですが、クラスに１人くらいは出てもおかしくはない数字です。
では、点数が１０点（１０問中１問正解）だったら？
確率は 1.1%、これなら「おやっ？」と思える数字です。
つまり「狙っている」ことをアピールするなら、２択１０問テストで１０点以下でなければなりません。
もし理解度５０％の人が、あえて１０点以下を狙うとするなら、
その成功率は 18.6%、かなりの難関と言えるでしょう。

ところで２択の場合、青いグラフと赤いグラフには、かなり大きな重なりが見てとれます。
６０点〜７０点くらいの点数なら、全くの偶然であってもそこそこ当たる。
ということは、ちゃんと分かっている生徒と、ヤマカンで当てた生徒の見分けが付きにくいということです。
そこで、テストを２択ではなくて、３択問題としたらどうなるか。

赤と青が、かなり良く分かれてきました。
５０点のところは微妙ですが、６０点以上はほぼ「理解している」、
４０点以下は「理解していない」と見てよいでしょう。
３択の場合、１０点以下（１問正解以下）の確率は１０％程度となります。
なので、１問正解はまだ「狙っている」とは言い難く、
狙うならずばり０点、確率にして 1.7% のピンポイントだけです。

さらに、テストの形式を５択にすると、どうなるか。

赤と青がはっきり分かれました。
このとき偶然０点を取る確率は10.7％、現実に取り得る値です。
つまり５択問題の場合、たとえ０点をとっても何のアピールもできないということです。

結論：あえて０点を狙うなら３択以下。
　　先生は、少なくとも３択、できれば５択程度の問題を作った方が良い。