固有ベクトルが直交するのは(2)

「エルミート行列はユニタリ行列によって対角化される」。
あるいは実数の範囲で「実対称行列は直交行列によって対角化される」。
・・・いったい何の宇宙語ですか？ と思えるようなこの１フレーズには、
実は線形代数の重要な帰結が盛り込まれているのです。
ぶっちゃけ、この１フレーズがわからないと、量子力学が理解できません。
何とかこの謎のフレーズを幾何学的な直観で理解できないものだろうか。。。
あれこれ考えた末、なんとなく形になって見えてきたので、ここに書きとめておきます。
以下を読む前に、前記事に目を通しておくとよいでしょう。
* 固有ベクトルが直交するのは >> [id:rikunora:20090307]

話を単純化して、２ｘ２の実数行列に限定しましょう。
まず最初に、平面全体を１本の直線上に、ぺったんこに押しつぶす変換というものを考えます。
このぺったんこ変換を行列で書くと、どうなるか。

こんな風に、ぺったんこになる変換の行列には、著しい特徴があります。
上の行と、下の行が同じ比率になっている、つまり a : b = c : d になっている、ということです。
その理由は、図を見ればわかるでしょう。
a : b = c : d なのだから、ad - bc = 0
つまりこれが「行列式の値が０」という意味です。

さて、平面を直線上にぺったんこする変換の中でも、特に価値が高いのは「直線に対してまっすぐ垂直に」ぺったんこする変換です。
これを正射影変換と言います。

平面全体を、原点を通る直線 a y = b x の上に、まっすぐ垂直に落とす変換をＰ（Projection、又はぺったんこ?!）としましょう。
Ｐを行列で書くと、

となります。
この行列Ｐの形には、さらに著しい特徴があります。
それは、２ｘ２の行列を縦に見ても、横に見ても、比率が a : b になっているということです。
　　→ 横の比率が a : b、↓縦の比率も a : b
　　a a　　a b
　　a b　　b b
なぜこうなるのか、下の図を見てください。

２ｘ２の行列に現れる４つの数字 a, b, c, d は、
ｘｙ平面上の点(1, 0)を点(a, c)に、点(0, 1)を点(b, d)に移すのだと読みとることができます。
この解釈に従って、点(1, 0)と点(0, 1)を垂直にぺったんこ変換したのが上の図です。
２つの直角三角形が合同であることから、b = c であることが見てとれるでしょう。
つまり、a : b = a : c になっているわけです。
ということは、元の２ｘ２行列で考えれば、横の比率も a : b、縦の比率も a : b、
行列全体の形は
　　a a　　a b
　　a b　　b b
の定数倍になるというわけです。
※ 定数倍の値を計算すると、対角線を足した値（トレース）の逆数、1 / ( a^2 + b^2 ) となります。

ところで、ぺったんこ変換には、それと直交してペアになる「残りの」ぺったんこ変換、というものがあります。
図にすると、こういうこと。

ぺったんこ変換Ｐ1が、平面全体を直線L1: a y = b x に落とし込む変換だとすれば、
それと直交する直線L2: b y = - a x に平面全体を落とし込む、いまひとつのぺったんこ変換Ｐ2というものがあるでしょう。
（同じことを三次元にあてはめれば、きっとＰ1，Ｐ2，Ｐ3の３つのぺったんこ変換があることでしょう。）
図からわかるように、Ｐ1とＰ2は、平面上の点を、斜めに描かれた「新しい直交座標」に落とし込む変換になっています。
ここで発想の転換。
このＰ1とＰ2を組み合わせて、平面上の点を「新しい直交座標」の上に再現できないものか、と考えてみるのです。
いま、平面上のある一点q をＰ1で変換した結果を Ｐ1 q としましょう。
Ｐ1 q は、直線L1 上の１点になります。
同じように、点q をＰ2で変換した結果を Ｐ2 q とすれば、Ｐ2 q は直線L2 上の一点になっています。
この２つの結果、Ｐ1 q と Ｐ2 q を（ベクトルとして）足し合わせたものは、元の点q に一致します。
式で書くと
　Ｐ1 q + Ｐ2 q ＝ q
図に描くとこういうことです。

式で見ると難しそうだけど、図で見れば当たり前でしょう。

では次に、点q を、直線 a y = b x 方向に、２倍に拡大する変換というものを考えてみます。
それはつまり、Ｐ1を２倍にして足し合わせれば良い、ってことです。
式で書くと
　２ x Ｐ1 q + Ｐ2 q ＝ q' 　　-- 直線L1方向に２倍に拡大.
図に描くと、こう。

さらに一般化して、点q を、直線L1方向にλ1倍、直線L2方向にλ2倍に拡大する変換は、
　λ1 x Ｐ1 q + λ2 x Ｐ2 q ＝ q' 　　-- 新しい直交座標でλ1倍, λ2倍の点.

以上で、我々は平面全体を「新しい直交座標」上に変換する方法を見出したことになります。

・「新しい直交座標」の軸に対してまっすぐ垂直にぺったんこする変換（正射影変換）Ｐ1、Ｐ2 を用意する。
・Ｐ1とＰ2を組み合わせた（線形結合した）変換 Ｈ = λ1 x Ｐ1 + λ2 x Ｐ2 というものを作る。
・この変換 Ｈ は、平面全体を「新しい直交座標」の軸について、それぞれλ1倍、λ2倍したものになっている。

ところで、ぺったんこ変換Ｐ1、Ｐ2 は、最初に見てきた通り対称行列になっていました。
ということは、そのＰ1、Ｐ2を組み合わせて作った変換 Ｈ も対称行列になっているはずです。
逆に言えば、ある適当な対称行列 Ｈ を持ってくれば、
それは何らかの「新しい直交座標」への投影の組み合わせになっている、という訳なのです。
※この逆に言えば、のところは、正しくは数学的な証明が必要です。
※２ｘ２の対称行列 Ｈ は３つの変数で表すことができるので、
※きっと、λ1, λ2, Ｐ1の傾き、という３つの変数によって表せるだろうと予想が付きます。

さて、ここまで来れば、最初に言っていた「実対象行列は直交行列によって対角化される」まであと一歩です。

・実対象行列というのは、変換Ｈのことです。
・直交行列というのは、「新しい直交座標」の軸に相当するベクトルを横に並べて書いたものです。
・対角化される、というのは、対角線上に λ1, λ2 を並べた行列のことです。

新しい直交座標の軸、直線L1 の方向ベクトルを e1 とします。
e1 を Ｈで変換すると、向きはそのままで、長さが λ1倍になります。
式で書けば、
　Ｈ e1 = λ1 e1　　　　・・・(1)
同様に、もう１本の軸、直線L2 の方向ベクトルを e2 とすれば、
　Ｈ e2 = λ2 e2　　　　・・・(2)
この２本の式を合わせて１つにすることを考えます。
２つの直線の直交するベクトル、e1 と e2 をくっつけて、１つの行列にまとめます。

これが直交行列です。
なぜ直交行列なのかと言えば、もともと直交している２つのベクトルを合わせたものだからです。
一方、λ1倍と λ2倍を１つの行列にまとめると、こんな風に対角成分だけの行列になります。

なぜ対角成分だけなのかと言えば、λ1は１番目の軸だけに作用し、λ2は２番目の軸だけに作用して、
それ以外の作用が０だからです。
こうして合わせて作った行列で、上の(1)式、(2)式を合体させると、
　Ｈ Ｕ = λ Ｕ
といった、シンプルな式にまとまります。
直交行列Ｕの逆行列を Ｕ^-1 とすれば、
　Ｕ^-1 Ｈ Ｕ = Ｕ^-1 λ Ｕ = λ Ｕ^-1 Ｕ = λ　　　（λは交換可能なので）
最終的に、
　Ｕ^-1 Ｈ Ｕ = λ
対称行列Ｈを、直交行列Ｕと、その逆行列Ｕ^-1でサンドイッチしたものが、対角行列λになります。
これが最初に言っていた「実対称行列は直交行列によって対角化される」ということです。

参考図書：タイトルの通り、固有値問題そのものズバリを、わりといい感じに解説した本。

固有値問題30講 (数学30講シリーズ)