まっすぐな面・曲がった面

丸い地球を平面の地図に直そうとすると、どこかに無理が出てきます。
よく目にするメルカトル図法では、北極と南極に近い部分が、赤道に近い部分よりも大きめに描かれています。
ならば、面積を正確にしようと別の図法で地図を作ろうとすれば、今度は方向に歪みが出てしまう。
面積も方向も正確に、と欲張れば、地図にたくさんの切れ目を入れないといけない。
これはつまり、球面と平面では「曲がり具合」が異なっていることを意味しています。
ところが球面ではなくて、円柱や円錐のような曲面であれば、正確な地図を作ることができます。
円柱や円錐は、平面と同じように「まっすぐな」性質を持った面なのです。
ぱっと見に気付くのは、球面がどの方向にも曲がっているのに対して、
円柱や円錐は一方向にまっすぐであるということです。
ということは、簾のようにたくさんの直線を並べて作った曲面であれば、
正確な平面の地図が作れるということなのでしょうか。
ちょっと試してみましょう。

用意するもの：わりばしをたくさん、地図になる絵。

わりばしに絵を貼って、細かい線に切り分けます。

まずは円柱面に巻いてみましょう。
絵柄を損なうことなしに、平面がそのまま円柱面になることがわかります。
まあ、予想通りと言うべきなのでしょうけれど。

それでは、この円柱状に並べたわりばしを、少しねじってみましょう。
こんな形の「鼓型」になります。

絵柄がどうなっているか、分かり難いと思いますが、心の目で見てください。
ウェストが細く絞られて、頭と足が膨らんだ形になっています。

さらに強くねじってみました。
もはや絵柄は原型を留めていません。
絵柄が大きく歪んでいる様子が分かるでしょうか。

もう１つ、今度は別の並べ方をしてみましょう。
わりばしを扇型に、少しずつねじりながら積み上げてみます。

絵柄はまたわかりにくいのですが、扇の外側に向けて広がってゆくのがわかるでしょうか。

鼓型も扇形も、直線を並べて作った曲面です。
しかし直線でありながら、絵柄が正確に反映されない、正確な地図が作れない面なのです。
直線を並べて作った面のことを「線織面(せんしょくめん)」、
正確な地図が作れる面のことを「可展面」と言います。
そして上で試したように、直線をねじってつなげた面は、線織面でありながら可展面では無いのです。

上で作った鼓型には「一葉双曲面」、扇形には「常螺旋面」という名前が付いています。
* 微分幾何 -- いろいろな曲面
>> http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/diffgeom/varioussurface.html
* 微分幾何 -- 常螺旋面
>> http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/diffgeom/righthelicoid.html

それでは、一体どのような性質を持った面が、正確な地図が作れる「可展面」なのでしょうか。
平面の地図が作れる面は、おそらく「曲がっていない面」ということなのでしょう。
でも、それを言ったら直線から作った線織面だって「曲がっていない面」なのではないか。
いったいこの「曲面の曲がり具合」を、どのように考えたら良いのでしょうか。

もし面ではなくて線だったらな、「曲がり具合」を表すことは難しくありません。
簡単に言えば、曲線上をバイクで走ったときに、
カーブを曲がるときに切ったハンドルの角度が曲線の曲がり具合です。
バイクのコーナリング半径のことを「曲率」と言います。
実際のバイクはカーブに合わせて小刻みにハンドルを調整しているので、
曲率とは、その瞬間ごと、その点ごとに変化する値です。
同じ事を、今度は曲面にあてはめたらどうなるか。
曲面は、曲線のような１本道ではないので、どの方向にバイクを走らせるかが問題になります。
そこで、あらゆる方向の中から
・面がふくらんでいる向きに、カーブが最もきつく曲がっている方向と、
・面がへこんでいる向きに、カーブが最もきつく曲がっている方向、
この２方向のカーブを取り上げることにしましょう。
滑らかな曲面の場合、実はこの２方向は必ず直行しています。

２方向のカーブというのは、この図の赤と緑の矢印に相当します。
球面や、丘のように出っ張っている面では、へこんでいる向きのカーブはありません。
その場合、ふくらみが最もきついカーブと、ふくらみが最も緩やかな２本のカーブを取り上げます。
図の一番右端にあるのは、峠型、あるいは馬の鞍のような形です。
この場合は一方のカーブがふくらんでいて、それと直行する、もう一方のカーブはへこんでいます。
図の中央、円筒形の面では一方がふくらんでいて、もう一方は直線です。
ここで便宜的に、ふくらんでいるカーブの曲線としての曲率を＋(プラス)に、
へこんでいるカーブの曲線としての曲率を−(マイナス)とします。
そして、曲面全体の曲がり具合を、
　　[曲面の曲率] = [赤い矢印の曲率] ｘ [緑の矢印の曲率]
としましょう。
つまり、２つの直交する曲線の掛け算を、曲面全体の曲がり具合だと考えるのです。
このように、[赤い矢印] ｘ [緑の矢印] で定義された曲率のことを「ガウス曲率」と言います。
ガウス曲率がわかると、曲面の何がわかるのか。

定理：
もし１つの曲面があるほかの曲面に展開(develop)されるならば、各点での曲率の大きさは変わらない。
　　　　-- 数学が育っていく物語/曲面、より引用

これには「ガウスの驚異の定理」という、驚くべき名前が付いています！
この定理によれば、お互いに「正確な地図が作れる」のは、曲率が同じ面同士である、ということになります。
平面はガウス曲率０ですから、平面の地図が作れる曲面は、ガウス曲率が０の面に限られるのです。
（つまりガウス曲率０＝可展面です）
円筒や円錐は、ガウス曲率０です。
球面や楕円面は常にガウス曲率が正の値をとりますから、どうがんばっても平面の地図にはなりません。

それでは、わりばしを並べて作った一葉双曲面は？
一葉双曲面のガウス曲率は、常に負の値となるので、やはり平面の地図を作ることはできません。
ガウス曲率の計算は、かなり大変です。結果だけ書くと、

一葉双曲面：　x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 という面のガウス曲率は、
　K = -1 / { a^2・b^2・c^2 (x^2/a^4 + y^2/b^4 + z^2/c^4)^2 }

とにかく分子が -1 で、分母が何らかの数の２乗 > 0 ですから、常に負の値となっています。

しかし、面の内部に直線が含まれているのであれば、ガウス曲率は０になるのではないか？
なのになぜ、一葉双曲面はガウス曲率が負なのでしょうか。

一葉双曲面の、もっともカーブがきつい方向と、直線の様子を図にすると、こんな風になります。
青い線が直線、赤と緑の矢印がもっともカーブのきつい方向です。
ポイントは、赤と緑の矢印に対して、青い直線が斜め方向に出ているということです。
直線が赤と緑の方向に一致しない限り、ガウス曲率は０にはなりません。

もう１つ、わりばしを扇形に並べた常螺旋面では？

常螺旋面: (x, y, z) = (u Cos(v)，u Sin(v)，a v ) という面のガウス曲率は、
　　K = - a^2 / (u^2 + a^2) ^2
　　　　-- 微分幾何 -- 常螺旋面に詳しい計算が載っています.

分子にマイナスが付いて、分母は正ですから、これも常に負の値をとります。
a に比べて u がうんと大きくなれば、K はほとんど０に近づきます。
これはつまり、軸から離れた部分ならば、扇の面はほとんど平らなので、
絵柄の付いた平面の紙が貼れるということを意味します。

曲線，曲面の微分幾何については、このサイトにとても良くまとまっています。
* 微分幾何 >> http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/diffgeom/diffgeom.html
本格的に知りたい人には、定番のこの本がおすすめ。

曲線と曲面の微分幾何

曲線と曲面の微分幾何


一葉双曲面は、建築デザインにいろいろと応用されているようです。
* 一葉双曲面とウラジーミル・シューホフ
>> http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/14733125aa2f72f08fc75c3fbf2c4b19
* 参考：サイコロ回転体 >> [id:rikunora:20081025]