３つの運動方程式

古典力学の運動方程式には、３つの表現形式があります。
ニュートン、ラグランジュ、ハミルトン。
ニュートンのものが一番の基本で、最もシンプルです。
後の２つは解析力学と呼ばれる分野に登場します。

もとになる物理法則は１つなのですから、この３つは表現形式が違うだけで、本質的な中身は同じです。
ならば、運動方程式は１つで充分に思えるのですが、なぜわざわざ３つも用意したのでしょうか。
最大の理由は、ぶっちゃけ「量子力学のため」だと思います。
ラグランジュ形式、ハミルトン形式は、古典力学から離れて、量子力学にも適用されています。
なので、これがわからないと、量子力学で挫折することになる。。。
もちろん解析力学が作られた当初は、量子力学が目的だったわけではありません。
まずラグランジュ形式ですが、これは「最も効率の良い経路を見出す」といった目的に最適化されています。
* ラグランジアンに意味は無い >> d:id:rikunora:20090327
とにかくニュートン形式では「もうやってらんねー」ようなめんどくさい問題が、
ラグランジュ形式だと簡単に解けることがあるんです。
例は“解析力学”と銘打ってある本には必ず載っているので、そっちを見てくれい（無責任）。
次に、ハミルトン形式について。
ハミルトン形式は、もともと１本だった２階の微分方程式を、１階の微分方程式２本に分割したものです。
もともと１冊だった本を、上下２巻に分けて水増ししたようなものです。
それだけ聞くとあこぎな商売みたいですが、この水増しのおかげでハミルトン形式の１本１本の式は、
一塊の式よりも大きく融通が効くようになっています。
２つの式のつなぎ目として導入した「運動量」は、状況に合わせて自由に設定することができます。
具体的には、目的に合わせて座標系を自由に選ぶことができる、ということです。
「自由に設定できる運動量」のことを、「一般化運動量」と呼んでいます。

以下で、この３つの形式の橋渡しをしようと思うのですが、
ニュートン形式 => ラグランジュ形式 については以前の記事に譲ります >> d:id:rikunora:20090327
今回の目玉は、ハミルトン形式です。

その前に、たくさん登場する記号の解説を少しばかり。
解析力学では、どういう訳か同じ内容を別の記号で表すことがあるんです。
また、人により本により記号が微妙に違っていて、これがさらなる混乱を生んでいるように思うのです。
知っている人には当たり前なのかもしれませんが、私は慣れるまでかなり混乱したので、せめてここに書いておきます。
まず、座標を表す記号。
物体の位置座標と言えば、３次元であれば普通は（x, y, z) と書きます。
ところが解析力学では座標の意味を広げていて、３次元以上をも扱うことができるのです。
なので（x, y, z) ではなくて、（x1, x2, x3, x4 ...）と書きます。
同じことを繰り返し書くのは面倒なので、まとめて xi (i=1,2,3...) と書くこともあります。
さらに、いちいち (i=1,2,3...) と書くのがめんどくさいので、単に xi と書いてあったり、
場合によっては x だけ書いて複数の座標を表していることもあります。
また、解析力学では座標を x ではなくて、q で表すこともあります。
ハミルトン形式では q で書くのが慣例です。
たぶん運動量の p に合わせてバランスをとったのだと思います。
あと x が普通のデカルト座標っぽいのに対して、q は自由に選んだ一般化座標という感じなのでしょう。
ラグランジュ形式のところで、上の図では運動エネルギーのことをＴで表しています。
これをＫと書いているものもあります。
Ｋは Kinetic なのでしょうが、Ｔはなんなんだろう、よく知りません。
位置エネルギーは、上の図ではＵで表しています。
これをＶで表している本もあります。
微分の記号は、ｆ'(x) のように ' を付ける書き方がありますが、
解析力学では d/dt のように、d で分数のように書くのが主流です。
' はニュートン流、d/dt はライプニッツ流です。
さらに、解析力学では文字の上に・(ドット) を付けて微分を表す、ということをしています。
あと、ライプニッツ流の書き方をよく見ると、d/dt と書いてあるところと、∂/∂t と書いてあるところがあります。
d で書いてあるところは単なる微分、∂(ラウンドディー)で書いてあるところは偏微分です。
偏微分とは、多変数関数について、ある特定の向きにだけ偏って微分するということですよ。
以上は余計な解説だったのですが、、、こんだけ出てくれば、間違わない方が不思議だと思うぞ。
記号、たくさん有り過ぎ。

* ニュートン形式 => ハミルトン形式
話を保存力場中の質点の運動に限定します。
保存力場と言ったのは、質点が受ける力を周囲の場（地形）によるものだけに限定しよう、ということです。
周囲の場から受ける力というのは、要はデコボコの地形の上に置かれた質点が
下り坂の向きに力を受けるということですから、位置エネルギーの微分になります。
このときニュートンの運動方程式は、
　　- ∂Ｕ/∂x = ｍ・d^2 x / dt^2　　　　・・・(1)
式の先頭に付いているマイナスは「下り坂の向きに働く」という意味です。
位置ｘの微分が速度になること、運動量とは(質量)・(速度)であることから、運動量ｐは
　　ｐ = ｍ・d x / d t　　　　　・・・(2)
この運動量ｐを用いて、最初の(1)式を書き直すと、
　　- ∂Ｕ/∂x = d ｐ / d t　　　　・・・(3)
となります。
さて、ここで質点の持つエネルギーについて考えてみることにします。
全エネルギーは(運動エネルギー)＋(位置エネルギー)ですから、それをＨと書くことにすると、
　　Ｈ = (1/2m) ｐ^2 + Ｕ　　　　・・・(4)
この(3)式のＨを運動量ｐで微分すると、（Ｕはｐに依存しないから消える）
　　∂Ｈ/∂ｐ = (1/m) ｐ
運動量ｐとは、(2)式のことだったので、
　　∂Ｈ/∂ｐ = d x / d t　　　　・・・(5a)
また、(4)式のＨを位置ｘで微分すると、（ｐはｘに直接依存しないから消える）
　　∂Ｈ/∂x = ∂Ｕ/∂x
(2)式によって、
　　∂Ｈ/∂x = - d ｐ / d t　　　　・・・(5b)
この (5a), (5b)の２本の式が、ハミルトンの運動方程式です。
全エネルギーＨを引き合いに出して、もともと１本だったニュートンの運動方程式を、
位置ｘと運動量ｐの２つの変数による２つの式に書き直したわけです。

* ラグランジュ形式 => ハミルトン形式
ラグランジュ形式には、ラグランジアンＬという量がありました。
ラグランジアンＬは位置と速度に依存する関数、つまりＬ(q, q')ということです。
ここで、Ｌをほんの少しだけ変化させた変分δＬというものを作ってみます。
　　δＬ = (∂L /∂q) δq + (∂L /∂q') δq'　　　・・・(6)
唐突に複雑な式が出てきたように見えますが、これ、要は２変数関数の全微分というやつです。
なぜこのような微小変化を考えたのか。
それは、Ｌを位置q と速度q' の２つに分解したかったからです。
Ｌには運動方程式の情報が１つにまとまって入っているのですが、
それを揺さぶってみると、位置、速度、２つのカケラが出てきます。
この２つのカケラを、それぞれ２本の式にしてしまおうというのが、δＬを作った狙いなのです。
（別にδＬ=０として、最適なＬを探そうということではない。）
(6)式の (∂L /∂q') という部分を、運動量であると見なします。
つまり、一般化運動量ｐを
　　ｐ = ∂L /∂q'　　　　・・・(7)
であると定義します。
この定義は天下り的ですが、試しに Ｌ = 1/2 m v^2 - Ｕ と考えて v = q' で微分してみると、
確かに ｐ = m v となっていますね。
さて、ラグランジュの運動方程式とは
　　d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0　　　　・・・(8)
でした。
この (7)式と(8)式を使って、先の(6)式を書き直すと、
　　δＬ = (dｐ/dt) δq + ｐδq'　　　　・・・(9)
両辺から δ(ｐq') という値を引いてみます。
　　δ(ｐq') = ｐδq' + q'δｐ
であることに注意。
すると、(9)式はこんな風になります。
　　δ(Ｌ - ｐq') = (dｐ/dt) δq - q'δｐ
両辺の符号をひっくり返します。
　　δ(ｐq' - Ｌ) = q'δｐ - (dｐ/dt) δq
この式の左辺 (ｐq' - Ｌ) ってところを、Ｈという記号にまとめましょう。
　　δＨ = q'δｐ - (dｐ/dt) δq　　　　・・・(10)
ところで、Ｈはｐとｑの関数なのですから、全微分するとこうなります。
　　δＨ = (∂Ｈ/∂ｐ)δｐ + (∂Ｈ/∂ｑ)δｑ　　　　・・・(11)
(10)式と(11)式は同じものですから、じっくり比較すると、次の２本の式が引き出せます。
　　∂Ｈ/∂ｐ = q'　　　　・・・(12a)
　　∂Ｈ/∂ｑ = - dｐ/dt = - ｐ'　　　　・・・(12b)
この (12a), (12b) の２式が、ハミルトンの運動方程式です。
いったい何のこっちゃ？ と思われるかもしれませんが、いまやったことは結局
・運動の法則＝ラグランジュの運動方程式の情報を盛り込んで、
・一般化運動量ｐ、ハミルトニアンＨ、といった意味がありそうなパーツをまとめて、
・２本の式に変形した
ということなんです。

以上が、３つの運動方程式を結びつける最短ルートなのだと私は思っています。
でも、やってることはあくまでも「形式」の書き換えに過ぎないのですから、
式をいじるのがとっても好き、という人以外はあんまりおもしろくないですね。。。
ここでは具体的、物理的な意味を追い求めて、わからん、わからんと悩むよりも、
しょせんは数学的形式なのだと割り切って、
　・式に慣れる
　・式の形を観賞して楽しむ
のが良いみたいです。

もう少し深く知りたいのであれば、やはりこのサイトに飛ぶしかあるまい。
* EMANの物理学 -- 解析力学
>> http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/contents.html